Równanie okręgu

[Mariannn]

Napisz równanie okręgu przechodzącego przez początek układu współrzędnych, wiedząc że styczne do okręgu mają równania: X+2y+9=0 i 2x-y-2=0

[darkangel36]

musisz obliczyc odległosc punktu od ktorejs z prostych. ta odległosc bedzie Twoim "r". a rownanie okregu wtedy bedzie wynosic \(\displaystyle{ x^2+y^2=r^2}\)

Acha! punktem bedzie srodek okregu czyli punkt \(\displaystyle{ (0;0)}\)

[Mariannn]

Tyle to ja wiem, chodzi mi o jak najlatwiejsze rozwiazanie. robiąc tak jak Ty mowisz, beda koszmarne liczby. Ma ktos jeszcze jakis pomysl?

[darkangel36]

jak sie jeszcze co nieco zauwazy to nie ma duzo roboty;)
\(\displaystyle{ (x+2)^2 + (y+1)^2=5}\)

[W_Zygmunt]

Środek okręgu stycznego do prostych
\(\displaystyle{ k : x + 2y + 9\,=\,0}\)
\(\displaystyle{ l : 2x - y - 2\,=\,0}\)
leży na dwusiecznej kąta utworzonego przez te proste.
Wektory \(\displaystyle{ \vec{w}}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}}\) prostopadłe do prostych mają równe długości.
Zatem wektor \(\displaystyle{ \vec{s}}\) będący sumą, jest prostopadły do prostej "s".
(Gdyby nie były równej długości - należało by wziąć wersory.)
Szukamy współrzędnych punktu "P".
Piszemy równanie prostej przechodzącej przez punkt i prostopadłej do wektora.
\(\displaystyle{ A\cdot (x - x_{0}) + B\cdot (y - y_{0})\,=\,0}\)
\(\displaystyle{ 3\cdot (x + 1) + 1\cdot (y + 4)\,=\,0}\)
\(\displaystyle{ y\,=\, - 3\cdot x - 7}\)
Równanie okręgu przechodzącego przez punkt początkowy układu ma postać
\(\displaystyle{ (x - x_{S})^{2} + (y - y_{S})^{2}\,=\,x_{S}^{2} + y_{S}^{2}}\)
Ponieważ środek musi leżeć na prostej "s", mamy
\(\displaystyle{ (x - x_{S})^{2} + (y - ( - 3\cdot x_{S} - 7))^{2}\,=\,x_{S}^{2} + ( - 3\cdot x_{S} - 7)^{2}}\)
Okrąg ma z prostą "l" jeden punkt, czyli równanie
\(\displaystyle{ (x - x_{S})^{2} + (2\cdot x - 2 - ( - 3\cdot x_{S} - 7))^{2} - (x_{S}^{2} + ( - 3\cdot x_{S} - 7)^{2})\,=\,0}\)
\(\displaystyle{ 5\cdot x^{2} + 10\cdot x\cdot (x_{S} + 2) - 12\cdot x_{S} - 24\,=\,0}\)
musi mieć deltę równą zero.
\(\displaystyle{ \Delta \,=\,(10\cdot (x_{S} + 2))^{2} - 4\cdot 5\cdot ( - 12\cdot x_{S} - 24)}\)
Stąd wyliczmy współrzędną x środka.
\(\displaystyle{ x_{S_1}\,=\, - 2}\)
\(\displaystyle{ x_{S_2}\,=\, - 4.4}\)
Teraz trzeba obliczyć pozostałe współrzędne oraz promień i napisać równania.