Równanie prostych stycznych do okręgu,przechodzących przez

[Noddy]

Mam pewne zadanie z matematyki,z którym mam problem:
Znajdź równanie prostych stycznych do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2}-6x+8y+21=0}\), przechodzących przez punkt A=(5,-1).
Proszę o pomoc.

[Crizz]

Najpierw przekształcasz równanie okręgu do postaci kanonicznej:
\(\displaystyle{ (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=4}\)

Niech najpierw równanie stycznej ma postać \(\displaystyle{ y=ax+b}\), skoro ma przechodzić przez (5,-1), to \(\displaystyle{ b=-1-5a}\), czyli prosta ma równanie postaci \(\displaystyle{ y=ax-5a-1}\).

Szukamy takiego a, dla którego układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=4 \\ y=ax-5a-1 \end{cases}}\)
ma jedno rozwiązanie. Podstawiamy y z drugiego równania do pierwszego, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (a^{2}+1)x^{2}+(6a-6+10a^{2})x+(25a^{2}-30a+14)=0}\), to równanie ma jedno rozwiązanie tylko, gdy jego wyróżnik jest równy zeru, czyli gdy:
\(\displaystyle{ (10a^{2}-6a+6)^{2}-4(a^{2}+1)(25a^{2}-30a+14)=0}\),
\(\displaystyle{ 4(12a-5)=0}\),
\(\displaystyle{ a= \frac{5}{12}}\).
Stąd \(\displaystyle{ y= \frac{5}{12}x-3 \frac{1}{12}}\) jest szukaną prostą.

Gdy założymy, że styczna jest postaci \(\displaystyle{ x=c}\), to widać, że jedyną taką prostą może być prosta \(\displaystyle{ x=5}\) i rzeczywiście jest ona styczna do okręgu.

odp: \(\displaystyle{ x=5}\) oraz \(\displaystyle{ y= \frac{5}{12}x-3 \frac{1}{12}}\).

[Noddy]

Gdy założymy, że styczna jest postaci x=c, to widać, że jedyną taką prostą może być prosta x=5 i rzeczywiście jest ona styczna do okręgu

Nie rozumiem jak wyliczyłeś c.

[Crizz]

No skoro ma przechodzić przez punkt \(\displaystyle{ (5,-1)}\), to wiadomo że tylko x=5 może okazać się szukaną prostą, pozostaje tylko sprawdzić, czy rzeczywiście jest styczna do okręgu. W tym przypadku jest.

[Noddy]

Hmm,ok rozumiem(w tym przypadku istotnie jest styczna). Ale jeśli po sprawdzeniu taka prosta nie będzie styczna do okręgu? Jak wtedy ją obliczyć?

[Crizz]

Ogólnie chodzi o to, że z reguły istnieją dwie styczne do okręgu przechodzące przez punkt. Gdyby się okazało, że żadna prosta postaci \(\displaystyle{ x=c}\) nie jest rozwiązaniem, to dostałbyś w pierwszym przypadku dwie wartości a, czyli istniałyby dwie proste o równaniu postaci \(\displaystyle{ y=ax+b}\) spełniające warunki zadania.

[Noddy]

Wielkie dzięki,teraz to rozumiem.

[pablopoz]

\(\displaystyle{ (a^{2}+1)x^{2}+(6a-6+10a^{2})x+(25a^{2}-30a+14)=0}\).

sprawdzałem 3 razy różnymi sposobami : musi być - 10 a nie 10

a najśmieszniejsze jest to że nawet ze zmienionym znakiem wychodzi wynik ten sam....
o.O