Potrafi ktoś dokonać dowodu wzoru : P = \(\displaystyle{ \frac{1}{2} |d(\vec{a}, \vec{b} )|}\)
Dane: A, B, C
Dowód wzoru na pole trójkąta w układzie współrzędnych
Dowód wzoru na pole trójkąta w układzie współrzędnych
Ostatnio zmieniony 15 kwie 2008, o 17:45 przez Shadow71, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Dowód wzoru na pole trójkąta w układzie współrzędnych
Znajdźmy najpierw kąt a dowolnego wektora \(\displaystyle{ \vec{a}=[x,y]}\) z osią ox:
\(\displaystyle{ sin (a)= \frac{y}{ \sqrt{x^{2}+y^{2}} }, cos (a)= \frac{x}{ \sqrt{x^{2}+y^{2}} }}\).
Teraz znajdźmy kąt dwóch wektorów \(\displaystyle{ \vec{u}=[x_{1},y_{1}], \vec{v}=[x_{2},y_{2}]}\). Korzystając z wzorów na sinus i cosinus różnicy kątów i uwzględniając to, że kąt dwóch wektorów jest różnicą kątów, które tworzą te wektory z osią OX, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ sin(a)= \frac{y_{2}x_{1}-y_{1}x_{2}}{ \sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}} \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} }}\). Sinus wystarczy.
Stąd już widać, że \(\displaystyle{ d( \vec{u}, \vec{v})=|\vec{u}||\vec{v}|sin(\vec{u},\vec{v})}\). Natychmiast otrzymujemy wzór tożsamy z wzorem na pole trójkąta: \(\displaystyle{ S=ab*sin(a)}\), wartość bezwzględna pojawia się we wzorze z wyznacznikiem, gdyż musimy uwzględnić to, że wyznaczaliśmy kąt skierowany wektorów (po prostu trzeba się upewnić, że pole wyjdzie dodatnie).
Jeśli koniecznie chcesz mieć jako dane wierzchołki trójkąta, to wystarczy stwierdzić, że mając takie dane można zawsze wyznaczyć dwa wektory stanowiące boki trójkąta.
\(\displaystyle{ sin (a)= \frac{y}{ \sqrt{x^{2}+y^{2}} }, cos (a)= \frac{x}{ \sqrt{x^{2}+y^{2}} }}\).
Teraz znajdźmy kąt dwóch wektorów \(\displaystyle{ \vec{u}=[x_{1},y_{1}], \vec{v}=[x_{2},y_{2}]}\). Korzystając z wzorów na sinus i cosinus różnicy kątów i uwzględniając to, że kąt dwóch wektorów jest różnicą kątów, które tworzą te wektory z osią OX, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ sin(a)= \frac{y_{2}x_{1}-y_{1}x_{2}}{ \sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}} \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} }}\). Sinus wystarczy.
Stąd już widać, że \(\displaystyle{ d( \vec{u}, \vec{v})=|\vec{u}||\vec{v}|sin(\vec{u},\vec{v})}\). Natychmiast otrzymujemy wzór tożsamy z wzorem na pole trójkąta: \(\displaystyle{ S=ab*sin(a)}\), wartość bezwzględna pojawia się we wzorze z wyznacznikiem, gdyż musimy uwzględnić to, że wyznaczaliśmy kąt skierowany wektorów (po prostu trzeba się upewnić, że pole wyjdzie dodatnie).
Jeśli koniecznie chcesz mieć jako dane wierzchołki trójkąta, to wystarczy stwierdzić, że mając takie dane można zawsze wyznaczyć dwa wektory stanowiące boki trójkąta.