Hiperbole sprzężone
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Hiperbole sprzężone
Moim zdaniem to jest tak:
Bierzemy hiperbolę o równaniu \(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{a^{2}}- \frac{y^{2}}{b^{2}}=1}\). Jej mimośród \(\displaystyle{ e_{1}= \frac{ \sqrt{a^{2}+b^{2}} }{a}}\). Równanie hiperboli sprzężonej do tej ma postać \(\displaystyle{ -\frac{x^{2}}{a^{2}}+ \frac{y^{2}}{b^{2}}=1}\), czyli po drobnej transformacji układu współrzędnych (symetria osiowa i obrót o +90 stopni) \(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{b^{2}}- \frac{y^{2}}{a^{2}}=1}\). Już widać, że \(\displaystyle{ e_{2}= \frac{ \sqrt{a^{2}+b^{2}} }{b}}\). Zatem \(\displaystyle{ \frac{e_{1}}{e_{2}}= \frac{b}{a}= \frac{2b}{2a}}\).
Zatem stosunek mimośrodów elips sprzężonych jest równy stosunkowi długości ich osi (bo każda z nich ma takie same długości osi).
Bierzemy hiperbolę o równaniu \(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{a^{2}}- \frac{y^{2}}{b^{2}}=1}\). Jej mimośród \(\displaystyle{ e_{1}= \frac{ \sqrt{a^{2}+b^{2}} }{a}}\). Równanie hiperboli sprzężonej do tej ma postać \(\displaystyle{ -\frac{x^{2}}{a^{2}}+ \frac{y^{2}}{b^{2}}=1}\), czyli po drobnej transformacji układu współrzędnych (symetria osiowa i obrót o +90 stopni) \(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{b^{2}}- \frac{y^{2}}{a^{2}}=1}\). Już widać, że \(\displaystyle{ e_{2}= \frac{ \sqrt{a^{2}+b^{2}} }{b}}\). Zatem \(\displaystyle{ \frac{e_{1}}{e_{2}}= \frac{b}{a}= \frac{2b}{2a}}\).
Zatem stosunek mimośrodów elips sprzężonych jest równy stosunkowi długości ich osi (bo każda z nich ma takie same długości osi).