zaadanie"łamana"

[Bizmon]

Na prostej \(\displaystyle{ l:x+y-6=0}\) wyznacz taki punkt \(\displaystyle{ C}\), aby długość łamanej ACB, gdzie \(\displaystyle{ A(1;3)}\), \(\displaystyle{ B(2;2)}\) była najmniejsza. Uzasadnij swoje rozwiązanie.

Proszę o pomoc i uzasadnienie rozwiązania tego zadania z góry dziękuje.

[Crizz]

Najpierw przekształcasz równanie prostej l do postaci kierunkowej: \(\displaystyle{ y=-x+6}\). Dla współrzędnych punktów A i B zachodzi \(\displaystyle{ y}\), czyli oba punkty leżą po tej samej stronie prostej l.

Teraz znajdujesz punkt B' symetryczny do B względem l:
-rodzina prostych prostopadłych do l: \(\displaystyle{ x-y+c=0,c \in \Re}\)
-prosta k przechodząca przez B: \(\displaystyle{ x-y=0}\)
-punkt wspólny prostych k i l: \(\displaystyle{ S(3,3)}\)
-odległość BS: \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
-punkt B': \(\displaystyle{ B'=(1,1)}\)

Prosta AB' wyznacza na prostej l szukany punkt, czyli:
-równanie prostej AB': \(\displaystyle{ x=1}\)
-punkt wspólny l i prostej AB': \(\displaystyle{ C=(1,5)}\)

Uzasadnienie: dla każdego punktu C zachodzi \(\displaystyle{ CB=CB'}\), czyli długość łamanej ACB jest równa długości łamanej ACB', ale tylko w przypadku, gdy punkt C jest wyznaczony j.w. łamana ACB' jest odcinkiem (czyli najkrótszą krzywą łączącą dwa punkty).

[Bizmon]

poprawna odpowiedz to \(\displaystyle{ C(2,5;3,5)}\) co nie jest zgodne z tym co napisałeś ... musi być gdzieś błąd.

[Crizz]

Faktycznie, po złej stronie l wyznaczyłem punkt B'. powinno być \(\displaystyle{ B'=(4,4)}\). Wtedy równanie prostej AB' wychodzi \(\displaystyle{ y= \frac{1}{3}x+2 \frac{2}{3}}\), czyli punkt C rzeczywiście wychodzi \(\displaystyle{ (2,5;3,5)}\).

sorki

[Bizmon]

dziękuje za pomoc pozdrawiam:).