Trójkąt równoboczny, okrąg wpisany - znajdź wierzchołki.

tomo88 · Post autor: **tomo88** » 13 kwie 2008, o 10:13

Witam. Mam problem z zadaniem . Jeśli ktoś może pomoc to jestem wdzięczny.
oto ono:
W trójkąt równoboczny ABC wpisano okrąg o środku w punkcie S(3,-1). Wiedząc, że C(1,-3), wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trójkąta.

Pozdrawiam.

*Kasia · Post autor: *Kasia » 13 kwie 2008, o 10:37

Środek okręgu leży w punkcie przecięcia się wysokości (trójkąt równoboczny), zatem prosta AB jest prostopadła do CS. Szukasz na niej takiego punktu, aby leżał na prostej CS i odległość od S stanowiła połowę |CS| - otrzymujesz spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka C. Jest on również środkiem podstawy. Aby znaleźć wierzchołki, możesz np. znaleźć na tej prostej dwa punktu, których odległość od S jest równa |CS|. Albo szukać takich punktów, aby odległość miedzy nimi była równa odległości od punktu C.

Szemek · Post autor: **Szemek** » 13 kwie 2008, o 11:14

Inny sposób rozwiązania:

\(\displaystyle{ |SC|=\sqrt{(1-3)^2+(-3+1)^2} \\
|SC|=2\sqrt{2} \\
|SC|=r \\
r=\frac{a\sqrt{3}}{3} \\
\frac{a\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{2} \\
a=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\
a=2\sqrt{6} \\
\begin{cases} o(S,r): \ (x-3)^2+(y+1)^2=8 \\ o(C,a): \ (x-1)^2+(y+3)^2=24 \end{cases} \\
\begin{cases} x^2-6x+9+y^2+2y+1=8 \\ x^2-2x+1+y^2+6y+9=24 \end{cases} \\
\begin{cases} x^2-6x+y^2+2y+2=0 \\ x^2-2x+y^2+6y-14=0 \end{cases} \\
r_1 - r_2: \\
\begin{cases} -4x-4y+16=0 \\ x^2-6x+y^2+2y+2=0 \end{cases} \\
\begin{cases} 4y=4x-16 \\ x^2-6x+y^2+2y+2=0 \end{cases} \\
\begin{cases} y=-x+4 \\ x^2-6x+(-x+4)^2+2(-x+4)+2=0 \end{cases} \\
x^2-6x+x^2-8x+16-2x+8+2=0 \\
2x^2-16x+26=0 \\
x^2-8x+13=0 \\
\Delta=64-52 \\
\sqrt{\Delta}=2\sqrt{3} \\
x=\frac{8-2\sqrt{3}}{2} x=\frac{8+2\sqrt{3}}{2} \\
\begin{cases} y=-x+4 \\ x=4-\sqrt{3} x=4+\sqrt{3} \end{cases} \\
\begin{cases} x=4-\sqrt{3} \\ y=\sqrt{3} \end{cases} \begin{cases} x=4+\sqrt{3} \\ y=-\sqrt{3} \end{cases}}\)

Odp. \(\displaystyle{ A(4-\sqrt{3},\sqrt{3}) \ \ B(4+\sqrt{3},-\sqrt{3})}\)

tomo88 · Post autor: **tomo88** » 13 kwie 2008, o 22:47

wielkie dzieki:)

Kombajnista · Post autor: **Kombajnista** » 10 maja 2008, o 20:12

Mam pytanie skoro SC=2/3h to jak SC moze sie rownać "r" ? Przecież promień tego okregu powinien równać się polowie odcinka SC

Chyba że to "r" to promień okregu opisanego a nie wpisanego

[ Dodano: 10 Maj 2008, 20:40 ]
Dobra już wiem. To jest promień okręgu opisanego. Oznaczenie powinno być "R" a nie "r" bo jest troszkę mylące.

Szemek · Post autor: **Szemek** » 10 maja 2008, o 20:44

Kombajnista, zbytnie przyzwyczajenie do oznaczeń
w moim rozwiązaniu chodzi o promień okręgu opisanego

Kombajnista · Post autor: **Kombajnista** » 10 maja 2008, o 20:55

Taka naleciałość z lekcji matematyki z bardzo dokładną panią Zosią. Zresztą jak by nie patrzył matematyka to przedmiot ścisły i pytałem dla pewności i jasności. Dzięki za pomoc