proste rownolegle

[Mariannn]

Wykaż, że styczne do wykresu funkcji f danej wzorem \(\displaystyle{ f(x)=\frac{2}{x}}\) poprowadzone w pkt. \(\displaystyle{ P_1=(1,2)}\) oraz \(\displaystyle{ P_2=(-1,-2)}\) są równoległe.

[kujdak]

\(\displaystyle{ f'(x) ...\\
f'(x_{1})=...=a\\
y=ax+b}\)
- z tego b wyznaczasz
tak samo z 2 punktem, aby proste były równoległe to współczynniki a muszą być takie same

[Mariannn]

takk tylko ze ja nie mam pochodnych. nie da sie tego zadania policzyc bez pochodnych?

[soku11]

Wzor na styczna:
\(\displaystyle{ y=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)}\)

Takze nie wiem jak ty sie chcesz obejsc bez pochodnych... POZDRO

[Szemek]

Rozwiązanie bez pochodnej:

Niech prosta \(\displaystyle{ k:y=ax+b}\) będzie styczną do wykresu \(\displaystyle{ y=\frac{2}{x}}\) w punkcie \(\displaystyle{ P_1(1,2)}\)

\(\displaystyle{ P_1 k \\
2=a+b \\
b=2-a \\
k:y=ax-a+2}\)

\(\displaystyle{ x\neq 0 \\
\begin{cases} y=ax-a+2 \\ y=\frac{2}{x} \end{cases} \\
\begin{cases} ax-a+2=\frac{2}{x} \qquad |\cdot x, \ x\neq 0 \\ y=\frac{2}{x} \end{cases} \\
\begin{cases} ax^2+(-a+2)x-2=0 \\ y=\frac{2}{x} \end{cases} \\
\Delta = 0 \\
(-a+2)^2+8a=0 \\
a^2-4a+4+8a=0 \\
a^2+4a+4=0 \\
(a+2)^2=0 \\
a=-2}\)

\(\displaystyle{ k:y=-2x+4}\)



Niech prosta \(\displaystyle{ l:y=ax+b}\) będzie styczną do wykresu \(\displaystyle{ y=\frac{2}{x}}\) w punkcie \(\displaystyle{ P_2(-1,-2)}\)

\(\displaystyle{ P_2 l \\
-2=-a+b \\
b=-2+a \\
l:y=ax+a-2}\)

\(\displaystyle{ x\neq 0 \\
\begin{cases} y=ax+a-2 \\ y=\frac{2}{x} \end{cases} \\
\begin{cases} ax+a-2=\frac{2}{x} \qquad |\cdot x, \ x\neq 0 \\ y=\frac{2}{x} \end{cases} \\
\begin{cases} ax^2+(a-2)x-2=0 \\ y=\frac{2}{x} \end{cases} \\
\Delta = 0 \\
(a-2)^2+8a=0 \\
a^2-4a+4+8a=0 \\
a^2+4a+4=0 \\
(a+2)^2=0 \\
a=-2}\)

\(\displaystyle{ l:y=-2x-4}\)

[ Dodano: 13 Kwietnia 2008, 10:30 ]
Współczynniki kierunkowe prostych są równe, więc proste są równoległe.