Przez p.A(1,2,1) poprowadz plaszcz. prostop. do rzutu prost.

[nieznaciemnie]

Przez punkt A=(1,2,1) poprowadz plaszczyzne prostopadla do rzutu prostej l: (x-1)/2=(y-3)/(-1)=z/3 na plaszczyzne x+y+z+1=0.

A wiec z tresci wg mnie wynika, ze obie plaszczyzny sa prostopadle. Wektor prostopadly do danej plaszczyzny u=[1,1,1], a do szukanej plaszczyzny v=[A,B,C]. Z tego wynika, ze u*v=0, czyli A+B+C=0. Nastepnie podstawiam wspl. p.A do rownania szukanej plaszczyzny Ax +By +Cz + D = 0 i wychodzi A+2B+C+D=0. I tu sie koncza moje pomysly.

Nie wiem czy potrzebnie,a le obliczylem jeszcze punkt przeciecia sie prostej z dana (nie mylic z szukana) plaszczyzna, M=(3/2;-17/4;15/4).

By nie zamydlac pisze oddzielnie. Mozna tez uzyc tw. o rownoleglossci wektorow u||w u x w = 0, przy czym w=[x'-1,y'-2,z'-3] (wektor w wzialem z punktu A, wektor ten lezy na szukanej plaszczyznie), ale to mi nie pomoglo. Wprowadzilo mi tylko dodatkowe niewiadome.

[W_Zygmunt]

W pierwszej kolejności, należy znaleźć płaszczyznę rzutowania „Ω” tzn. taką w której
leży prosta „l” i jej rzut na daną płaszczyznę . Wektor „v” prostopadły do pł. „Ω” jest
prostopadły do wektora „u” i do wektora „w” równoległego do prostej „l”.
Zatem v = u x w , gdzie w = [2,-1,3] ( działanie „x” to iloczyn wektorowy) .
Biorąc teraz wektor v x u , otrzymujemy wektor równoległy do rzutu prostej,
czyli prostopadły do szukanej płaszczyzny.

[nieznaciemnie]

Dzieki ZYGMUNT_W. Nie wychodzilo mi twoja metoda, gdyz liczac iloczyny wektorowe nie moglem obliczyc wspolrzednych wektorow, gdyz wprowadzalem przez to dodatkowe niewiadome. ALE skorzystalem z twojego pomyslu, by policzyc plaszczyzne przechodzaca przez prosta l. Mianowicie najpierw obliczylem punkt przeciecia sie prostej l z plaszczyzna x+y+z+1=0 (nazwijmy go M, gdzie M=(3/2;-17/4;-15/4)). Rownanie prostej napisalem w postaci parametrycznej, dzieki czemu znalazlem punkt lezacy na prostej l, czyli Z=(1,3,0). Pozniej ulozylem uklad rown podstawiajac wspolrzeden p.Z pod rown. plaszczyzny i wspolrzedne p.M pod rown. plaszczyzny i w*u=0 (gdzie u=[1,1,1]-wekt.danej plaszcz i w=[A,B,C,D]-wekt.plaszcz. na ktora jest rzutowana prosta l). W ten sposob obliczylem A, B, C (D traktowalem jako parametr) i podstawilem do rownania plaszczyzny dzielac je pozniej przez D. I tak znalazlem rownanie plaszczyzny (-5x+1y+4z+1=0) rzutujacej prosta l. Nastepnie ulozylem uklad rownan: u*v=0 i w*v=0 (gdzie u=[1,1,1]-wekt.danej plaszcz. v=[A,B,C]-wekt.szukanej plaszcz. i w=[-5,1,4]-wekt.obliczonej plaszcz.) i podstawilem wspolrzedne p.A=(1,2,1) do rownania szukanej plaszczyzny Ax+By+Cz+D=0. Podobie jak w poprzednim ukladzie obliczylem rown. szukanej plaszczyzny, czyli 3x-y-4z+1=0. Mam nadzieje, ze nie zamydlilem. Czy wyszedl mi dobry wynik?

[W_Zygmunt]

Postaram się rozwiązać moją metodą, bo nie umiem skalarnie pomnożyć wektora o trzech współrzędnych,
przez wektor o 4-rech.

\(\displaystyle{ \vec{v} \,=\, \vec{u} \, \, \vec{w} \,=\,}\)
\(\displaystyle{ [det(\left\[\begin{array}{cc}1&1\\ - 1&3\end{array}\right\]), - det(\left\[\begin{array}{cc}1&1\\ 2&3\end{array}\right\]),det(\left\[\begin{array}{cc}1&1\\ 2& - 1\end{array}\right\])] \,=\,[4, - 1, - 3]}\)
Podobnie licząc
\(\displaystyle{ \vec{v} \, \, \vec{u} \,=\, [2, - 7,5]}\)
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do wektora [2, - 7,5]
Na postać:
\(\displaystyle{ [2, - 7,5] \circ ([x,y,z] - [1,2,1]) \,=\,0}\)
czyli
\(\displaystyle{ 2\cdot x - 7\cdot y + 5\cdot z + 7\,=\,0}\)