Styczne

[wojtek6214]

Znajdź równania stycznych do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} -8x-6y+21=0}\) przechodzących przez punkt P ( 2, -1)

[Brzytwa]

\(\displaystyle{ (x-4)^{2}+(y-3)^{2}=2^{2}}\)

Szukana prosta niech ma postać \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\). Jedną informację bierzesz z tego, iż szukana prosta przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ 2,-1}\). Drugą ze wzoru na odległość punktu od prostej (szukana prosta jest odległa o \(\displaystyle{ 2}\) od punktu \(\displaystyle{ 4,3}\)) \(\displaystyle{ d=\frac{ ft| Ap+Bq+C\right| }{ \sqrt{A^{2}+B^{2}} }}\) , gdzie p,q są współrzędnymi środka okręgu.

[wojtek6214]

Yhym więc mam coś takiego:

2A-B+C=0

oraz

\(\displaystyle{ 2= \frac{|4A+3B+C|}{ \sqrt{A ^{2}+B ^{2} } }}\)

No i mam 3 niewiadome i nie wiem co dalej zrobić ;/ mógłbyś troszkę bardziej mnie nakierować

[Brzytwa]

Yhym więc mam coś takiego:

2A-B+C=0

oraz

\(\displaystyle{ 2= \frac{|4A+3B+C|}{ \sqrt{A ^{2}+B ^{2} } }}\)

No i mam 3 niewiadome i nie wiem co dalej zrobić ;/ mógłbyś troszkę bardziej mnie nakierować

Z pierwszego równania masz \(\displaystyle{ C=B-2A}\). Podstawiając do drugiego równania otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 2= \frac{|4A+3B+B-2A|}{ \sqrt{A ^{2}+B ^{2} } }}\)

\(\displaystyle{ 2\sqrt{A ^{2}+B ^{2}}=|2A+4B|}\)

\(\displaystyle{ 4A^{2}+4B^{2}=4A^{2}+16AB+16B^{2}}\)

\(\displaystyle{ B(12B+16A)=0}\)

Teraz 2 przypadki:

1) \(\displaystyle{ B=0 C=-2A}\)

Zatem nasz prosta ma postać:

\(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\)

\(\displaystyle{ Ax-2A=0}\)

\(\displaystyle{ x-2=0}\)

2) \(\displaystyle{ B=-\frac{4}{3}A C=-\frac{10}{3}A}\)

Wówczas nasza prosta ma postać:

\(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\)

\(\displaystyle{ Ax-\frac{4}{3}Ay-\frac{10}{3}A=0}\)

\(\displaystyle{ 3x-4y-10=0}\)