prosta przecinająca okrąg

[mat1989]

Przez początek układu współrzędnych poprowadzono prostą przecinającą okrąg \(\displaystyle{ x^2+y^2-8y+12=0}\) w dwóch punktach A i B. Uzasadnij, że liczba \(\displaystyle{ |OA|\cdot|OB|}\) nie zależy od wyboru prostej i oblicz wartość tego iloczynu.

[bosa_Nike]

Analitycznie?

Prosta: \(\displaystyle{ y=ax,\ |a|>\sqrt{3}}\), okrąg: \(\displaystyle{ x^2+(y-4)^2=2^2}\), wtedy dla punktów przecięcia prostej i okręgu z tw. Pitagorasa:

\(\displaystyle{ |OA|^2=x_1^2+y_1^2=(a^2+1)x_1^2,\ |OB|^2=x_2^2+y_2^2=(a^2+1)x_2^2}\).

Z drugiej strony \(\displaystyle{ x^2+(ax-4)^2+12=(a^2+1)x^2-8ax+12=0}\), stąd \(\displaystyle{ x_1x_2=\frac{12}{a^2+1}}\) oraz \(\displaystyle{ |OA|\cdot |OB|=12}\).

[mat1989]

a skąd to założenie, że \(\displaystyle{ |a|>\sqrt{3}}\)?

[bosa_Nike]

Bo inaczej prosta jest styczna lub rozłączna.

[mat1989]

no tak to wiem, tylko jak to sprawdziłaś, że taki przedział Ci wyszedł? jakoś ze styczności?

[bosa_Nike]

\(\displaystyle{ x^2+(ax-4)^2=2^2}\)

Badasz znak wyróżnika tego równania w zależności od parametru \(\displaystyle{ a}\).

[mat1989]

ok, a potem liczymy te punkty przecięcia? prostej i okręgu?

[a4karo]

A może tak:
\(\displaystyle{ (x_A^2+y_A^2)(x_B^2+y_B^2)=(8y_A-12)(8y_B-12)=16(4y_Ay_B-6(y_A+y_B)+9)}\)
Liczby \(\displaystyle{ y_A}\) i \(\displaystyle{ y_B}\) są pierwiastkami równania
\(\displaystyle{ (1+a^{-2})y^2-8y+12=0}\),
wiec ze wzorów Viete'a \(\displaystyle{ 4y_Ay_B-6(y_A+y_B)=0}\)

(w zasadzie to to samo, co bosa_Nike napisała - sorki, nie przyjrzałem się)

[Ania221]

A czy tu nie będzie miało zastosowania twierdzenie o dwóch siecznych?
wtedy, jeżeli pubkty przecięcia okręgu z osią \(\displaystyle{ OY}\) ptrząc od \(\displaystyle{ 0(0,0)}\) nazwiemy \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\)
\(\displaystyle{ \left|OC \right| \cdot \left|OD\right|=\left| OA\right| \cdot \left| OB\right|=12}\)
i ten iloczyn jest stały.

[a4karo]

Tak, tylko kto je dziś zna???
Dzięki, że je przypomniałaś