Największa wartość wyrażenia - odpowiedni punkt na okręgu
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 11 gru 2007, o 16:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Woj. Lubelskie
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 1 raz
Największa wartość wyrażenia - odpowiedni punkt na okręgu
Na okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}=1}\) wyznacz taki punkt \(\displaystyle{ M=(x,y)}\), aby wyrażenie \(\displaystyle{ 3x+4y}\) miało jak największą wartość. Bardzo prosiłbym o szybką odpowiedź, jakieś wskazówki - jakby się dało to jeszcze dzisiaj. Z góry dziękuję.
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Największa wartość wyrażenia - odpowiedni punkt na okręgu
Z równania okręgu wyznaczasz y. Masz dwa przypadki:
\(\displaystyle{ y= \sqrt{1-x^{2}}}\), wtedy \(\displaystyle{ 3x+4y=3x+4 \sqrt{1-x^{2}}}\). Szukasz maksimum funkcji \(\displaystyle{ g(x)= 3x+4 \sqrt{1-x^{2}}}\). Liczysz pochodną: \(\displaystyle{ g'(x)=3- \frac{4x}{ \sqrt{1-x^{2}} }}\), ekstremum jest tam, gdzie \(\displaystyle{ g'(x)=0}\) (teoretycznie drugą pochodną powinieneś udowodnić, że to ekstremum to maksimum). W każdym razie wychodzi \(\displaystyle{ x= \frac{3}{5},y= \frac{4}{5}}\).
Tak samo rozważ przypadek, gdy \(\displaystyle{ y=- \sqrt{1-x^{2}}}\), na koniec podstaw i porównaj wartości wyrażeń.
\(\displaystyle{ y= \sqrt{1-x^{2}}}\), wtedy \(\displaystyle{ 3x+4y=3x+4 \sqrt{1-x^{2}}}\). Szukasz maksimum funkcji \(\displaystyle{ g(x)= 3x+4 \sqrt{1-x^{2}}}\). Liczysz pochodną: \(\displaystyle{ g'(x)=3- \frac{4x}{ \sqrt{1-x^{2}} }}\), ekstremum jest tam, gdzie \(\displaystyle{ g'(x)=0}\) (teoretycznie drugą pochodną powinieneś udowodnić, że to ekstremum to maksimum). W każdym razie wychodzi \(\displaystyle{ x= \frac{3}{5},y= \frac{4}{5}}\).
Tak samo rozważ przypadek, gdy \(\displaystyle{ y=- \sqrt{1-x^{2}}}\), na koniec podstaw i porównaj wartości wyrażeń.
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 11 gru 2007, o 16:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Woj. Lubelskie
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 1 raz
Największa wartość wyrażenia - odpowiedni punkt na okręgu
A dałoby się to zrobić bez użycia analizy bo to zadanie jest ze zbiorka przygotowującego na maturę 2008, a więc bez Analizy?
-
- Użytkownik
- Posty: 1668
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 448 razy
Największa wartość wyrażenia - odpowiedni punkt na okręgu
Mam nadzieję, że nie zagmatwam.
Dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,a,b\in\mathbb{R}}\) prawdziwa jest nierówność (*) \(\displaystyle{ (bx-ay)^2\ge 0}\), czyli \(\displaystyle{ b^2x^2+a^2y^2\ge 2abxy}\).
Po dodaniu do obu stron \(\displaystyle{ a^2x^2+b^2y^2}\) i zwinięciu otrzymamy \(\displaystyle{ (x^2+y^2)(a^2+b^2)\ge (ax+by)^2}\).
Teraz wystarczy podstawić \(\displaystyle{ a=3,\ b=4}\).
\(\displaystyle{ |3x+4y|\le \sqrt{(x^2+y^2)(3^2+4^2)}=5}\)
Równość zachodzi wtedy, gdy zachodzi w (*), czyli gdy \(\displaystyle{ 4x=3y}\), co w połączeniu z \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\) oraz \(\displaystyle{ 3x+4y\le |3x+4y|\le 3|x|+4|y|}\) daje żądany punkt.
Dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,a,b\in\mathbb{R}}\) prawdziwa jest nierówność (*) \(\displaystyle{ (bx-ay)^2\ge 0}\), czyli \(\displaystyle{ b^2x^2+a^2y^2\ge 2abxy}\).
Po dodaniu do obu stron \(\displaystyle{ a^2x^2+b^2y^2}\) i zwinięciu otrzymamy \(\displaystyle{ (x^2+y^2)(a^2+b^2)\ge (ax+by)^2}\).
Teraz wystarczy podstawić \(\displaystyle{ a=3,\ b=4}\).
\(\displaystyle{ |3x+4y|\le \sqrt{(x^2+y^2)(3^2+4^2)}=5}\)
Równość zachodzi wtedy, gdy zachodzi w (*), czyli gdy \(\displaystyle{ 4x=3y}\), co w połączeniu z \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\) oraz \(\displaystyle{ 3x+4y\le |3x+4y|\le 3|x|+4|y|}\) daje żądany punkt.
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 6 kwie 2008, o 13:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gorlice
- Podziękował: 2 razy
Największa wartość wyrażenia - odpowiedni punkt na okręgu
O jakim zbiorze mówisz?Horsemen pisze:A dałoby się to zrobić bez użycia analizy bo to zadanie jest ze zbiorka przygotowującego na maturę 2008, a więc bez Analizy?