Największa wartość wyrażenia - odpowiedni punkt na okręgu

[Horsemen]

Na okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}=1}\) wyznacz taki punkt \(\displaystyle{ M=(x,y)}\), aby wyrażenie \(\displaystyle{ 3x+4y}\) miało jak największą wartość. Bardzo prosiłbym o szybką odpowiedź, jakieś wskazówki - jakby się dało to jeszcze dzisiaj. Z góry dziękuję.

[Crizz]

Z równania okręgu wyznaczasz y. Masz dwa przypadki:

\(\displaystyle{ y= \sqrt{1-x^{2}}}\), wtedy \(\displaystyle{ 3x+4y=3x+4 \sqrt{1-x^{2}}}\). Szukasz maksimum funkcji \(\displaystyle{ g(x)= 3x+4 \sqrt{1-x^{2}}}\). Liczysz pochodną: \(\displaystyle{ g'(x)=3- \frac{4x}{ \sqrt{1-x^{2}} }}\), ekstremum jest tam, gdzie \(\displaystyle{ g'(x)=0}\) (teoretycznie drugą pochodną powinieneś udowodnić, że to ekstremum to maksimum). W każdym razie wychodzi \(\displaystyle{ x= \frac{3}{5},y= \frac{4}{5}}\).

Tak samo rozważ przypadek, gdy \(\displaystyle{ y=- \sqrt{1-x^{2}}}\), na koniec podstaw i porównaj wartości wyrażeń.

[Horsemen]

A dałoby się to zrobić bez użycia analizy bo to zadanie jest ze zbiorka przygotowującego na maturę 2008, a więc bez Analizy?

[bosa_Nike]

Mam nadzieję, że nie zagmatwam.

Dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,a,b\in\mathbb{R}}\) prawdziwa jest nierówność (*) \(\displaystyle{ (bx-ay)^2\ge 0}\), czyli \(\displaystyle{ b^2x^2+a^2y^2\ge 2abxy}\).
Po dodaniu do obu stron \(\displaystyle{ a^2x^2+b^2y^2}\) i zwinięciu otrzymamy \(\displaystyle{ (x^2+y^2)(a^2+b^2)\ge (ax+by)^2}\).

Teraz wystarczy podstawić \(\displaystyle{ a=3,\ b=4}\).

\(\displaystyle{ |3x+4y|\le \sqrt{(x^2+y^2)(3^2+4^2)}=5}\)

Równość zachodzi wtedy, gdy zachodzi w (*), czyli gdy \(\displaystyle{ 4x=3y}\), co w połączeniu z \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\) oraz \(\displaystyle{ 3x+4y\le |3x+4y|\le 3|x|+4|y|}\) daje żądany punkt.

[krzysiek131]

A dałoby się to zrobić bez użycia analizy bo to zadanie jest ze zbiorka przygotowującego na maturę 2008, a więc bez Analizy?

O jakim zbiorze mówisz?