Równanie z geometrii analitycznej

[TheNatoorat]

zadanie wyciagniete z podrecznika kielbasy, z dzialu geometria analityczna

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 + y^2 + 2x = m^2 - 1 \\ x^2 + y^2 - 4x - 8y = m^2 + 2m - 19 \end{cases}}\)

dla jakiego m układ ma dokładnie jedno rozwiazanie.

[Crizz]

Po przekształecniu masz układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+1)^{2}+y^{2}=m^{2} \\ (x-2)^{2}+(y-4)^{2}=(m+1)^{2} \end{cases}}\)
Pierwsze równanie opisuje okrąg o promieniu r=m i środku \(\displaystyle{ S_{1}=(-1,0)}\), drugie okrąg o promieniu R=m+1 i środku \(\displaystyle{ S_{2}=(2,4)}\).

Układ ma jedno rozwiązanie, gdy te okręgi są styczne, czyli gdy \(\displaystyle{ R+r=|S_{1}S_{2}|}\) albo gdy \(\displaystyle{ |R-r|=|S_{1}S_{2}|}\), \(\displaystyle{ |S_{1}S_{2}|=5}\), czyli \(\displaystyle{ m+m+1=5, m=2}\), drugie równanie bedzie sprzeczne.

[TheNatoorat]

dzieki