dodatnie wartości r (Kiełbasa 294)

[kujdak]

Dane są funkcje\(\displaystyle{ f(x)=2x+1}\) i \(\displaystyle{ g(x)=-2x^{2}-2x+1}\). Znajdź te dodatnie wartości r, dla których wszystkie punkty wspólne wykresów funkcji f i g należą do koła \(\displaystyle{ (x-1)^{2}+(y+1)^{2} qslant r^{2}}\)

[ Dodano: 29 Marca 2008, 15:59 ]
a już wiem ;]

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+1 \\ -2x^{2}-2x+1 \end{cases}\\
\\
x=0 x=-2 \\
y=-2 y=-3 \\}\)
równanie koła:
\(\displaystyle{ (x-1)^{2}+(y+1)^{2} qslant r^{2}}\)

podstawiamy punkty wychodzi:
\(\displaystyle{ r qslant \sqrt 5 \\
r qslant \sqrt 13\\
r\in (\sqrt 13; + )}\)

[moniczka92]

\(\displaystyle{ x=0 \wedge x=-2 \\
y=-2 \wedge y=-3 \\}\)

skąd się wzięły te y, tzn do czego podstawić ?

[mixiu]

no wlasnie -- 22 kwi 2010, o 16:27 --

\(\displaystyle{ x=0 \wedge x=-2 \\
y=-2 \wedge y=-3 \\}\)

skąd się wzięły te y, tzn do czego podstawić ?

tez do tego doszedlem : P tzn:




\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+1 = y \\ -2x^{2}-2x+1 = y \end{cases}\\
\\ -2x^{2}-2x+1 = 2x+1
x=0 \wedge x=-2 \\
y=-2 \wedge y=-3 \\}\)

równanie koła:

\(\displaystyle{ (x-1)^{2}+(y+1)^{2} \leqslant r^{2}}\)


i tutaj powinno chyba byc

\(\displaystyle{ r \geqslant \sqrt 3 \\
r \geqslant \sqrt 13\\
r\in (\sqrt 13; + \infty )}\)



a reszta OK

[Mistrzus]

Wynik \(\displaystyle{ r \in < \sqrt[]{13}; \infty )}\) jest dobry, ale takiego tu nie znalazłem. I nie rozumiem skąd wziął się ten \(\displaystyle{ \sqrt[]{3}}\)

Trochę to nie dokładne i chaotyczne.
Po wyliczeniu układu równań dostajemy
\(\displaystyle{ x=0 \wedge x= -2}\)

podstawiamy do równań x = -2, wtedy dostajemy y= -3 (x=0 nie biorę pod uwagę bo nic to nie wniesie)

po wstawieniu do równania koła \(\displaystyle{ x= -2 \wedge y= -3}\) wychodzi

\(\displaystyle{ r \ge \sqrt[]{13}}\) i nic wiecej

Jeśli się mylę to mnie poprawcie ale nie znajduje tu nigdzie wspomnianego w odpowiedzi \(\displaystyle{ r \ge \sqrt[]{3}}\)
i brakuje mi "<" przy otwarciu zbioru ponieważ jest zamknięty jednostronnie
Szczegóły?
Chyba o nie właśnie chodzi.

[Majeskas]

Po wyliczeniu układu równań dostajemy
\(\displaystyle{ x=0 \wedge x= -2}\)

Jeden x nie może być jednocześnie równy dwóm wartościom! Ludzie, nie wolno tak pisać, tam powinna być alternatywa.

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-2x^2-2x+1 \\ y=2x+1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ -2x^2-2x+1=2x+1}\)

\(\displaystyle{ x(x+2)=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y=1 \end{cases} \vee \begin{cases} x=-2 \\ y=-3 \end{cases}}\)

Nierówność koła (nie żadne równanie!):

\(\displaystyle{ (x-1)^2+(y+1)^2 \le r^2}\)

Wszystkie punkty wspólne mają należeć do koła oraz parametr r ma być dodatni, czyli muszą zachodzić nierówności:

\(\displaystyle{ \begin{cases} (-1)^2+2^2 \le r^2 \\ (-3)^2+(-2)^2 \le r^2 \\ r>0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} r \in (- \infty ,- \sqrt{5}> \cup < \sqrt{5} ,+ \infty ) \\ r \in (- \infty ,- \sqrt{13}> \cup < \sqrt{13},+ \infty ) \\ r \in R_+ \end{cases} \Rightarrow r \in < \sqrt{13},+ \infty )}\)