Znaleźć dwa wektory prostopadłe

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
mrc87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 17 lis 2007, o 18:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 10 razy

Znaleźć dwa wektory prostopadłe

Post autor: mrc87 »

Znaleźć takie dwa wektory prostopadłe o długościach \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) oraz 3 i pierwszych współrzędnych dodatnich, które są prostopadłe do wektora [-4,2,5]

Pół dnia nad tym spędziłem :/ Może ktoś wie jak rozwiązać?
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Znaleźć dwa wektory prostopadłe

Post autor: Wasilewski »

\(\displaystyle{ \vec{a} = [a_x, a_y, a_z] \\
a_x > 0 \\
\vec{b} = [b_x, b_y, b_z] \\
b_x > 0 \\
a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 = 5 \\
b_x^2 + b_y^2 + b_Z^2 = 9}\)

I teraz można na przykład zapisać iloczyny skalarne:
\(\displaystyle{ -4a_x +2a_y + 5a_z = 0 \\
-4b_x + 2b_y + 5b_z = 0}\)

Można też zauważyć, że dany wektorem może być iloczynem wektorowym danych wektorów:
\(\displaystyle{ \vec{a} \vec{b} = [-4,2,5]}\)
Możemy w tym przypadku zauważyć, że:
\(\displaystyle{ \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}}\)
Długość tego wektora jest równa iloczynowi długości pozostałych wektorów, czyli są one również do siebie prostopadłe.
mrc87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 17 lis 2007, o 18:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 10 razy

Znaleźć dwa wektory prostopadłe

Post autor: mrc87 »

Dzięki bardzo! Ale jak z tego wyciagnąc teraz wspołrzedne tych wektorów?
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Znaleźć dwa wektory prostopadłe

Post autor: Wasilewski »

Może pociągnę wersję z iloczynem wektorowym, bo jest bardziej obiecująca:
\(\displaystyle{ a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 = 5 \\
b_x^2 + b_y^2 + b_z^2 = 9 \\
\vec{a} \vec{b} = [-4, 2, 5] \\
a_y b_z - a_z b_y = -4 \\
a_z b_x - a_x b_z = 2 \\
a_x b_y - a_y b_x = 5 \\
\vec{a} \circ \vec{b} = 0 \\
a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0}\)

Sześć równań, sześć niewiadomych...
ODPOWIEDZ