Mam problem z 2 zadaniami optymalizacyjnymi..
1. na dwusiecznej kąta prostego trójkąta prostokątnego o wierzchołkach A(0,0), B(3,0), C(0,3) znajdź taki punkt P, aby suma kwadratów odległości punktu P od wierzchołków trójkąta była najmniejsza.
2. Na paraboli o równaniu \(\displaystyle{ y=x ^{2}}\) znajdź taki punkt P, aby kwadrat odległości punktu A(3,0) od punktu P był najmniejszy z możliwych.
proszę o pomoc..
Znajdź taki punkt P, aby.. 2 zadania
-
- Użytkownik
- Posty: 80
- Rejestracja: 10 lis 2006, o 09:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 28 razy
Znajdź taki punkt P, aby.. 2 zadania
Zad. 1
Niech P ma współrzędne (x,y)
skoro punkt P leży na dwusiecznej kąta prostego danego trójkąta, to należy do prostej o równaniu y=x.
zatem P(x,x)
obliczamy kwadraty odległości punktu P od wierzchołków trójkąta:
\(\displaystyle{ PA ^{2}= x^{2}+x^{2}=2x^{2}}\)
\(\displaystyle{ PB ^{2}= x^{2}+(3-x)^{2}=2x^{2}-6x+9}\)
skoro P należy do dwusiecznej kąta prostego, to PC=PB.
zatem \(\displaystyle{ PA ^{2}+ PB ^{2}+ PC ^{2}= 2x^{2}+ 2(2x^{2}-6x+9)= 6x^{2}-12x+18}\)
dana funkcja ma minimum dla \(\displaystyle{ x=1}\)
zatem P(1,1)
Niech P ma współrzędne (x,y)
skoro punkt P leży na dwusiecznej kąta prostego danego trójkąta, to należy do prostej o równaniu y=x.
zatem P(x,x)
obliczamy kwadraty odległości punktu P od wierzchołków trójkąta:
\(\displaystyle{ PA ^{2}= x^{2}+x^{2}=2x^{2}}\)
\(\displaystyle{ PB ^{2}= x^{2}+(3-x)^{2}=2x^{2}-6x+9}\)
skoro P należy do dwusiecznej kąta prostego, to PC=PB.
zatem \(\displaystyle{ PA ^{2}+ PB ^{2}+ PC ^{2}= 2x^{2}+ 2(2x^{2}-6x+9)= 6x^{2}-12x+18}\)
dana funkcja ma minimum dla \(\displaystyle{ x=1}\)
zatem P(1,1)
-
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
Znajdź taki punkt P, aby.. 2 zadania
Zadanie 2 w sensie techniki rozwiązywania jest analogiczne do porzedniego, tylko, że teraz \(\displaystyle{ P(x,x ^{2}), \quad d=:|PA|= \sqrt{(x-3) ^{2} +x ^{2} }}\). Wiemy, że d jest najmniejsza, gdy liczba podpierwiastkowa jest najmniejsza, a powinna nim być pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli pod pierwiastkiem.
Sądzę, że powinno "wyjść" \(\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \ i \ P( \frac{3}{2},\frac{9}{4})}\).
Sądzę, że powinno "wyjść" \(\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \ i \ P( \frac{3}{2},\frac{9}{4})}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 18 wrz 2016, o 21:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lubelskie
- Podziękował: 5 razy
Znajdź taki punkt P, aby.. 2 zadania
Jak pokazać że dwusieczna w tym przypadku jest zawarta w prostej wyrażonej tym właśnie wzorem?koreczek pisze:Zad. 1
Niech P ma współrzędne (x,y)
skoro punkt P leży na dwusiecznej kąta prostego danego trójkąta, to należy do prostej o równaniu y=x.
zatem P(x,x)
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 1 cze 2017, o 15:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
Znajdź taki punkt P, aby.. 2 zadania
Prosta o równaniu y=x jest nachylona pod kątem 45 stopni, wiec jest to dwusieczna tego kata(bo kat ma swoj "start" w punkcie 0,0)