Styczna do okręgu

[Konikov]

2.26

• Znajdź równanie stycznej do okręgu \(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2} =5}\)
  • a) w punkcie \(\displaystyle{ A = (1;-2)}\)
    b) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ B = (0;5)}\)
    c) równoległej do prostej \(\displaystyle{ 2x-y=0}\)
    d) prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ 2x-y=0.}\)

[JHN]

Prosta jest styczna do okręgu, jeśli odległość środka okręgu od tej prostej równa jest promieniowi okręgu. zatem wskazuj w kolejnych podpunktach równania prostych (z parametrem) spełniające warunki zadania, licz ich odległości od punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) i przyrównuj do \(\displaystyle{ \sqrt5}\)
Pozdrawiam

[JankoS]

Równanie ogólne prostej prostopadłej do wektora [A, B]
\(\displaystyle{ (1) \ Ax+By+C=0, \ gdzie \ A ^{2}+B ^{2} 0}\).
Równanie ogólne prostej przechodzącej przez \(\displaystyle{ (x _{0},y _{0})}\). A, B jak wyżej.
\(\displaystyle{ A(x-x _{0})+B(y-y _{0})=0}\).
Odległość d punktu \(\displaystyle{ x _{d},y _{d})}\) od prostej (1)
\(\displaystyle{ d=\frac{|Ax _{d}+By _{d}+C|}{ \sqrt{A ^{2}+B ^{2} }}}\).
Niech \(\displaystyle{ (2) \ A _{1}x +B _{1}y +C, \ A ^{2} _{1} +B ^{2} _{1} 0}\)
Proste (1), (2) są równoległe, gdy wektory, do których są prostopadłe są równoległe
\(\displaystyle{ [A,B]||[A _{1},B _{1}] \frac{A}{A _{1}}=\frac{B}{B _{1}}}\). pod warunkiem, że to dzielenie jest wykonalne (w tym zadaniu jest).
Analogicznie (1) i (2) są prostopadłe, wtedy gdy \(\displaystyle{ [A,B] \circ [A _{1},B _{1}]=0}\).
Ja to bym zrobił sposobem zaproponowanym przez Poprzednika, a następnie sprawdził za pomocą powyższych wzorów.