Odległość środka okręgu od cięciwy
-
annie1232
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 21 mar 2008, o 17:36
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Zielona Góra
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 3 razy
Odległość środka okręgu od cięciwy
Dany jest okrąg o środku O i promieniu r. Na okręgu obrano dwa punkty A, B i narysowano trójkąt ABO. Wyznacz odległość środka okręgu od cięciwy AB, tak aby pole trójkąta ABO było największe. Oblicz to największe pole.
-
wb
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
Odległość środka okręgu od cięciwy
x - szukana odległość,
c=|AB| .
\(\displaystyle{ ( \frac{1}{2}c)^2+x^2=r^2 c=2\sqrt{r^2-x^2} \\ \\ P= \frac{1}{2}cx=\sqrt{r^2-x^2}x \\ \\ P'(x)= \frac{-2x}{2\sqrt{r^2-x^2}} x+\sqrt{r^2-x^2}= \frac{r^2-2x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \\ \\ P'(x)=0 r^2-2x^2=0 \\ x= \frac{r\sqrt2}{2}}\)
Uzasadnij, że w tak otrzymanym x funkcja P(x) przyjmuje max (np. badając znak pochodnej) i oblicz
\(\displaystyle{ P( \frac{r\sqrt2}{2})=...}\)
c=|AB| .
\(\displaystyle{ ( \frac{1}{2}c)^2+x^2=r^2 c=2\sqrt{r^2-x^2} \\ \\ P= \frac{1}{2}cx=\sqrt{r^2-x^2}x \\ \\ P'(x)= \frac{-2x}{2\sqrt{r^2-x^2}} x+\sqrt{r^2-x^2}= \frac{r^2-2x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \\ \\ P'(x)=0 r^2-2x^2=0 \\ x= \frac{r\sqrt2}{2}}\)
Uzasadnij, że w tak otrzymanym x funkcja P(x) przyjmuje max (np. badając znak pochodnej) i oblicz
\(\displaystyle{ P( \frac{r\sqrt2}{2})=...}\)
-
JankoS
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
Odległość środka okręgu od cięciwy
Albo tak:
\(\displaystyle{ (P(\alpha)=\frac{1}{2}r ^{2}sin\alpha, \ 0 ^{\circ} P _{max}=P(90 ^{\circ} )=\frac{r ^{2}}{2}}\). Liczę jeszcze raz pole trójkąta i porównuję z wyznaczonym (pamiętam, że trójkąt jest prostokatny)\(\displaystyle{ \frac{1}{2}|AB|d=\frac{1}{2}r \sqrt{2}d= \frac{r ^{2}}{2} d=\frac{ \sqrt{2}r}{2}}\).
\(\displaystyle{ (P(\alpha)=\frac{1}{2}r ^{2}sin\alpha, \ 0 ^{\circ} P _{max}=P(90 ^{\circ} )=\frac{r ^{2}}{2}}\). Liczę jeszcze raz pole trójkąta i porównuję z wyznaczonym (pamiętam, że trójkąt jest prostokatny)\(\displaystyle{ \frac{1}{2}|AB|d=\frac{1}{2}r \sqrt{2}d= \frac{r ^{2}}{2} d=\frac{ \sqrt{2}r}{2}}\).