Czy okrąg przechodzi przez punkty kratowe?
-
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
Czy okrąg przechodzi przez punkty kratowe?
Nie przechodzi.
Punkt P należący do okręgu ma współrzędne \(\displaystyle{ (x,- \sqrt{992-y^{2}}) \ lub \ (x,- \sqrt{992-y^{2}}), \ x,y Z}\). Liczba \(\displaystyle{ \sqrt{992-y ^{2}}}\) nie jest liczbą całkowitą dla \(\displaystyle{ y Z}\), więc P nie jest punktem kratowym.
Dowód "niecałkowitości" (przez doprowadzenie do sprzeczności)
Przypuszczam, że \(\displaystyle{ (c=: \sqrt{992-y ^{2} } Z \ i \ y Z) c ^{2}=( \sqrt{992}+y)( \sqrt{992}-y) Z \sqrt{992} Z}\), co jest sprzeczne z tym ,że ten pierwiastek nie jest liczbą całkowitą. Przypuszczenie doprowadziło do sprzeczności, a więc jest fałszywe i c nie jest liczbą całkowitą.
Punkt P należący do okręgu ma współrzędne \(\displaystyle{ (x,- \sqrt{992-y^{2}}) \ lub \ (x,- \sqrt{992-y^{2}}), \ x,y Z}\). Liczba \(\displaystyle{ \sqrt{992-y ^{2}}}\) nie jest liczbą całkowitą dla \(\displaystyle{ y Z}\), więc P nie jest punktem kratowym.
Dowód "niecałkowitości" (przez doprowadzenie do sprzeczności)
Przypuszczam, że \(\displaystyle{ (c=: \sqrt{992-y ^{2} } Z \ i \ y Z) c ^{2}=( \sqrt{992}+y)( \sqrt{992}-y) Z \sqrt{992} Z}\), co jest sprzeczne z tym ,że ten pierwiastek nie jest liczbą całkowitą. Przypuszczenie doprowadziło do sprzeczności, a więc jest fałszywe i c nie jest liczbą całkowitą.
- enigm32
- Użytkownik
- Posty: 596
- Rejestracja: 25 lut 2008, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 99 razy
Czy okrąg przechodzi przez punkty kratowe?
Ten punkt P nie ma przypadkeim współrzędnych \(\displaystyle{ (x;y)}\), gdzie \(\displaystyle{ y^2=992-x^2 y=\sqrt{992-x^2} y=-\sqrt{992-x^2}}\), czyli
\(\displaystyle{ P(x; \sqrt{992-x^2})}\)??
\(\displaystyle{ P(x; \sqrt{992-x^2})}\)??
-
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
Czy okrąg przechodzi przez punkty kratowe?
Ma! Więc, gdzieś coś trzeba zamienić. Przepraszam za kłopot.
Czasami, tak mi się robi, że "niedowidzę".
Czasami, tak mi się robi, że "niedowidzę".
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 9 mar 2012, o 21:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 4 razy
Czy okrąg przechodzi przez punkty kratowe?
Ten dowód jest błędny. Kontrprzykład wygląda następująco: okrąg o równaniu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=10}\) pomimo tego, że \(\displaystyle{ \sqrt{10}}\) nie jest całkowity przechodzi przez punkt kratowy \(\displaystyle{ (3;1)}\).JankoS pisze:Nie przechodzi.
Punkt P należący do okręgu ma współrzędne \(\displaystyle{ (x,- \sqrt{992-y^{2}}) \ lub \ (x,- \sqrt{992-y^{2}}), \ x,y \in Z}\). Liczba \(\displaystyle{ \sqrt{992-y ^{2}}}\) nie jest liczbą całkowitą dla \(\displaystyle{ y \in Z}\), więc P nie jest punktem kratowym.
Dowód "niecałkowitości" (przez doprowadzenie do sprzeczności)
Przypuszczam, że \(\displaystyle{ (c=: \sqrt{992-y ^{2} } \in Z \ i \ y \in Z) \Rightarrow c ^{2}=( \sqrt{992}+y)( \sqrt{992}-y) \in Z \Rightarrow \sqrt{992} \in Z}\), co jest sprzeczne z tym ,że ten pierwiastek nie jest liczbą całkowitą. Przypuszczenie doprowadziło do sprzeczności, a więc jest fałszywe i c nie jest liczbą całkowitą.
Okrąg \(\displaystyle{ x^2+y^2=992}\) nie przechodzi prze punkty kratowe, ale, żeby tego dowieść należy podstawiać za \(\displaystyle{ x}\) kolejne liczby całkowite, zaczynając od \(\displaystyle{ 0}\), a kończąc na liczbie \(\displaystyle{ 31}\), która jest maksymalną liczbą dla której kwadrat nie przekracza \(\displaystyle{ 992}\) i za każdym razem sprawdzać czy \(\displaystyle{ \sqrt{992-x^{2}}\in\mathbb{Z}}\).