Czy okrąg przechodzi przez punkty kratowe?

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Awatar użytkownika
enigm32
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 596
Rejestracja: 25 lut 2008, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 99 razy

Czy okrąg przechodzi przez punkty kratowe?

Post autor: enigm32 »

Czy okrąg o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2=992}\) przechodzi prze punkty kratowe. Odpowiedź uzasadnij.
JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

Czy okrąg przechodzi przez punkty kratowe?

Post autor: JankoS »

Nie przechodzi.
Punkt P należący do okręgu ma współrzędne \(\displaystyle{ (x,- \sqrt{992-y^{2}}) \ lub \ (x,- \sqrt{992-y^{2}}), \ x,y Z}\). Liczba \(\displaystyle{ \sqrt{992-y ^{2}}}\) nie jest liczbą całkowitą dla \(\displaystyle{ y Z}\), więc P nie jest punktem kratowym.
Dowód "niecałkowitości" (przez doprowadzenie do sprzeczności)
Przypuszczam, że \(\displaystyle{ (c=: \sqrt{992-y ^{2} } Z \ i \ y Z) c ^{2}=( \sqrt{992}+y)( \sqrt{992}-y) Z \sqrt{992} Z}\), co jest sprzeczne z tym ,że ten pierwiastek nie jest liczbą całkowitą. Przypuszczenie doprowadziło do sprzeczności, a więc jest fałszywe i c nie jest liczbą całkowitą.
Awatar użytkownika
enigm32
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 596
Rejestracja: 25 lut 2008, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 99 razy

Czy okrąg przechodzi przez punkty kratowe?

Post autor: enigm32 »

Ten punkt P nie ma przypadkeim współrzędnych \(\displaystyle{ (x;y)}\), gdzie \(\displaystyle{ y^2=992-x^2 y=\sqrt{992-x^2} y=-\sqrt{992-x^2}}\), czyli
\(\displaystyle{ P(x; \sqrt{992-x^2})}\)??
JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

Czy okrąg przechodzi przez punkty kratowe?

Post autor: JankoS »

Ma! Więc, gdzieś coś trzeba zamienić. Przepraszam za kłopot.
Czasami, tak mi się robi, że "niedowidzę".
Awatar użytkownika
enigm32
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 596
Rejestracja: 25 lut 2008, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 99 razy

Czy okrąg przechodzi przez punkty kratowe?

Post autor: enigm32 »

To żaden kłopot. Ogólna idea rozwiązania jest taka sama, a rozwiązanie jest dobre. Dzięki za pomoc
Siddhartha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 9 mar 2012, o 21:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 4 razy

Czy okrąg przechodzi przez punkty kratowe?

Post autor: Siddhartha »

JankoS pisze:Nie przechodzi.

Punkt P należący do okręgu ma współrzędne \(\displaystyle{ (x,- \sqrt{992-y^{2}}) \ lub \ (x,- \sqrt{992-y^{2}}), \ x,y \in Z}\). Liczba \(\displaystyle{ \sqrt{992-y ^{2}}}\) nie jest liczbą całkowitą dla \(\displaystyle{ y \in Z}\), więc P nie jest punktem kratowym.

Dowód "niecałkowitości" (przez doprowadzenie do sprzeczności)

Przypuszczam, że \(\displaystyle{ (c=: \sqrt{992-y ^{2} } \in Z \ i \ y \in Z) \Rightarrow c ^{2}=( \sqrt{992}+y)( \sqrt{992}-y) \in Z \Rightarrow \sqrt{992} \in Z}\), co jest sprzeczne z tym ,że ten pierwiastek nie jest liczbą całkowitą. Przypuszczenie doprowadziło do sprzeczności, a więc jest fałszywe i c nie jest liczbą całkowitą.
Ten dowód jest błędny. Kontrprzykład wygląda następująco: okrąg o równaniu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=10}\) pomimo tego, że \(\displaystyle{ \sqrt{10}}\) nie jest całkowity przechodzi przez punkt kratowy \(\displaystyle{ (3;1)}\).
Okrąg \(\displaystyle{ x^2+y^2=992}\) nie przechodzi prze punkty kratowe, ale, żeby tego dowieść należy podstawiać za \(\displaystyle{ x}\) kolejne liczby całkowite, zaczynając od \(\displaystyle{ 0}\), a kończąc na liczbie \(\displaystyle{ 31}\), która jest maksymalną liczbą dla której kwadrat nie przekracza \(\displaystyle{ 992}\) i za każdym razem sprawdzać czy \(\displaystyle{ \sqrt{992-x^{2}}\in\mathbb{Z}}\).
ODPOWIEDZ