Mnożenie wektorów przez stałą i prostopadłośc 2 wektorów

[squeaky]

Mam za zadanie udowodnić poniższe twierdzenia:

\(\displaystyle{ \lambda [a, b, c ] = [\lambda a, \lambda b, \lambda c]}\)

Twierdzenie niby oczywiste, ale jak tego dowieść? Jeżeli ktoś wie albo jeżeli ktoś znalazł dowód w internecie (bo mi się akurat nie udało) to byłabym wdzięczna za podanie.

I jeszcze mam uzasadnić prostopadłość 2 wektorów w przestrzeni korszystając z tw. Pitagorasa. Czy wie ktoś jak to zrobić?

Uzupełniłem post.
Szemek

[JankoS]

Mam za zadanie udowodnić poniższe twierdzenia:
\(\displaystyle{ \lambda [a, b, c ] = [\lambda a, \lambda b, \lambda c]}\)
Twierdzenie niby oczywiste, ale jak tego dowieść? Jeżeli ktoś wie albo jeżeli ktoś znalazł dowód w internecie (bo mi się akurat nie udało) to byłabym wdzięczna za podanie.
I jeszcze mam uzasadnić prostopadłość 2 wektorów w przestrzeni korszystając z tw. Pitagorasa. Czy wie ktoś jak to zrobić?
Uzupełniłem post.
Szemek

Zaczniemy od zadania 2.
Założenie: \(\displaystyle{ \vec{a}, \ \vec{b}}\) wektory, takie że \(\displaystyle{ \vec{a}\circ \vec{b}=0}\)
Teza:\(\displaystyle{ | \vec{a}| ^{2}+| \vec{b} ^{2}|=|a+b| ^{2}}\).
Dowód:
\(\displaystyle{ (| \vec{a}+ \vec{b}|) ^{2}=( \vec{a}+ \vec{b})\circ ( \vec{a}+ \vec{b})= \vec{a}\circ \vec{a}+ \vec{a}\circ \vec{b}+ \vec{b}\circ \vec{a}+ \vec{b}\circ \vec{b}=| \vec{a}| ^{2}+0+0+| \vec{b}| ^{2}}\). c. b . d. o.
Zadanie 1.
Założenia:\(\displaystyle{ \vec{x}=\lambda [a,b,c], \ \vec{y}=[\lambda a, \lambda b, \lambda c], \ \lambda R}\) .
Teza: \(\displaystyle{ \vec{x}= \vec{y}}\). (Czyli z definicji \(\displaystyle{ | \vec{x}|=| \vec{y}| \ i \cos( \vec{x}, \vec{y})=1}\)).
Dowód.
\(\displaystyle{ | \vec{x}|=|\lambda [a, b, c]|=|\lambda| \sqrt{a ^{2}+b ^{2}+c ^{2} }= \sqrt{(\lambda a) ^{2}+(\lambda b) ^{2}+(\lambda c) ^{2} }= |\vec{y}|}\). Wykazałem, że wektory mają taką samą długość. (*)
Jeżeli \(\displaystyle{ \lambda=0 \ lub \ a=b=c=0}\), to obydwa wektory są zerowe i równość zachodzi.
Rozpatruję pozostały przypadek( \(\displaystyle{ \lambda (a ^{2}+b ^{2}+c ^{2}) 0}\)).
\(\displaystyle{ cos( \vec{x}, \vec{y})=\frac{ \vec{x}\circ \vec{y}}{| \vec{x}| | \vec{y}|}}\) = \(\displaystyle{ \frac{\lambda [a,b,c] \circ [\lambda a,\lambda b, \lambda c]}{|\lambda| \sqrt{a ^{2}+b ^{2}+c ^{2} } |\lambda | \sqrt{a ^{2}+b ^{2}+c ^{2} }}}\) = \(\displaystyle{ \frac{\lambda ( [a,b,c] \circ [\lambda a,\lambda b, \lambda c])}{\lambda ^{2} ({a ^{2}+b ^{2}+c ^{2})}}}\) = \(\displaystyle{ \frac{\lambda (\lambda a ^{2}+\lambda b ^{2}+\lambda c ^{2})}{\lambda ^{2} ({a ^{2}+b ^{2}+c ^{2} )}}}\)=\(\displaystyle{ \frac{\lambda ^{2} (a ^{2}+b ^{2}+c ^{2} )}{\lambda ^{2} ({a ^{2}+b ^{2}+c ^{2} )}}=1.}\)
Stąd i z (*) \(\displaystyle{ \vec{x}, \vec{y}}\) mają taką samą długość i te same zwroty, a więc są równe. c. b. d. o.