[zadanie] proste styczne do okregu

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
benny123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 19 cze 2005, o 12:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: krakow
Podziękował: 13 razy

[zadanie] proste styczne do okregu

Post autor: benny123 »

Mam problem z zadaniem:
Napisać równania prostych stycznych do okręgu x^2 + y^2 = 4, poprowadzonych z punktu A(6,0).
arigo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 852
Rejestracja: 23 paź 2004, o 10:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Pomógł: 28 razy

[zadanie] proste styczne do okregu

Post autor: arigo »

jeden ze sposobow jest taki
piszesz rownanie peku prostych przechodzacych przez punkt A, a nastepnie wyliczasz z niego x lub y i wstawiasz do rownania okregu i potem delta tego trojmianu ma byc rowna 0.
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

[zadanie] proste styczne do okregu

Post autor: Tomasz Rużycki »

Autor poprosił na GG o pełne rozwiązanie, więc je zamieszczam.

\(\displaystyle{ y=ax+b}\)

Prosta ta przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A(6,0)}\), więc:

\(\displaystyle{ 0=6a+b}\)
\(\displaystyle{ b=-6a}\)


\(\displaystyle{ x^2+y^2=4}\)

Wstawiając do tego równania równanie naszej prostej dostajemy:

\(\displaystyle{ x^2+(ax+b)^2=4}\)
\(\displaystyle{ x^2+a^2x^2+2abx+b^2-4=0}\)
\(\displaystyle{ x^2(a^2+1)+2abx+b^2-4=0}\)

Prosta ma mieć jeden punkt wspólny z okręgiem, więc:

\(\displaystyle{ \Delta=4a^2b^2-4(a^2+1)(b^2-4)=0}\)


Wystarczy, że rozwiążesz układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi:

\(\displaystyle{ \{4a^2b^2-4(a^2+1)(b^2-4)=0\\b=-6a}\)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
ODPOWIEDZ