dwie wysokości trójkąta
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 9 mar 2008, o 16:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Czaplice
dwie wysokości trójkąta
dwie wysokości trójkąta ABC gdzie A=(-2, -3) zawarte są w prostych o równaniach x-2=0 i 2x+3y-1=0. oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trójkąta
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
dwie wysokości trójkąta
Oczywiście żadna z podanych wysokości trójkąta nie jest poprowdadzona z wierzchołka A. Można założyć, że prostą \(\displaystyle{ x-2=0}\) poprowadzono z wierzchołka B, a prostą \(\displaystyle{ 2x+3y-1=0}\) - z wierzchołka C.
Ponieważ wysokość poprowadzona z wierzchołka B jest prostopadła do boku AC, to równanie prostej zawierającej ten bok ma postać \(\displaystyle{ y=-3}\). Stąd dostajemy, że \(\displaystyle{ C=(x,-3)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\). Wiedząc jednak, ze prosta \(\displaystyle{ 2x+3y-1=0}\) przechodzi przez punkt C dostajemy \(\displaystyle{ x=5}\), więc \(\displaystyle{ C=(5,-3)}\).
Wyznaczymy teraz współrzędne punktu B. Oczywiście B leży na prostej \(\displaystyle{ x-2=0}\), czyli \(\displaystyle{ B=(2,y)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ y\in\mathbb{R}}\). Wiemy również, że wysokość poprowadzona z wierzchołka C jest prostopadła do boku AB. Przekształcając równanie prostej \(\displaystyle{ 2x+3y-1=0}\) do postaci kierunkowej otrzymujemy \(\displaystyle{ y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}}\). Stąd i z warunku prostopadłości prostych dostajemy, że równanie prostej zawierającej bok AB jest postaci \(\displaystyle{ y=\frac{3}{2}x+b}\) dla pewnego \(\displaystyle{ b\in\mathbb{R}}\). Ponieważ punkt A należy do boku AB, to musi być \(\displaystyle{ b=-3-\frac{3}{2}\cdot (-2)=0}\), czyli bok AB leży na prostej o równaniu \(\displaystyle{ y=\frac{3}{2}x}\). Stąd musi być także \(\displaystyle{ B=(2,\frac{3}{2}\cdot 2)=(2,3)}\).
Ponieważ wysokość poprowadzona z wierzchołka B jest prostopadła do boku AC, to równanie prostej zawierającej ten bok ma postać \(\displaystyle{ y=-3}\). Stąd dostajemy, że \(\displaystyle{ C=(x,-3)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\). Wiedząc jednak, ze prosta \(\displaystyle{ 2x+3y-1=0}\) przechodzi przez punkt C dostajemy \(\displaystyle{ x=5}\), więc \(\displaystyle{ C=(5,-3)}\).
Wyznaczymy teraz współrzędne punktu B. Oczywiście B leży na prostej \(\displaystyle{ x-2=0}\), czyli \(\displaystyle{ B=(2,y)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ y\in\mathbb{R}}\). Wiemy również, że wysokość poprowadzona z wierzchołka C jest prostopadła do boku AB. Przekształcając równanie prostej \(\displaystyle{ 2x+3y-1=0}\) do postaci kierunkowej otrzymujemy \(\displaystyle{ y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}}\). Stąd i z warunku prostopadłości prostych dostajemy, że równanie prostej zawierającej bok AB jest postaci \(\displaystyle{ y=\frac{3}{2}x+b}\) dla pewnego \(\displaystyle{ b\in\mathbb{R}}\). Ponieważ punkt A należy do boku AB, to musi być \(\displaystyle{ b=-3-\frac{3}{2}\cdot (-2)=0}\), czyli bok AB leży na prostej o równaniu \(\displaystyle{ y=\frac{3}{2}x}\). Stąd musi być także \(\displaystyle{ B=(2,\frac{3}{2}\cdot 2)=(2,3)}\).