Dwa zadania o okręgu

[wojtek6214]

Zad.1
Styczne do okręgu \(\displaystyle{ x ^{2} + (y+2) ^{2} = \frac{16}{5}}\) poprowadzone przez punkt A(-2,1) przecinają oś OY w punktach B i C.
a)wyznacz równania tych stycznych
b)oblicz współrzędne pkt. B i C

Zad.2.
a)napisz równanie wspólnej osi symetrii okręgów o równaniach \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} -2x +4y+1=0}\) oraz \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} +2x - 4y - 4 =0}\)

b)napisz równania stycznych do okręgu \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} -2x +4y+1=0}\) i nachylonych do osi OX pod kątem 135 stopni

[lukasz1804]

1. Niech \(\displaystyle{ y=ax+b}\) będzie równaniem szukanej stycznej. Ponieważ przechodzi ona przez punkt A, to \(\displaystyle{ 1=-2a+b}\), czyli \(\displaystyle{ b=2a+1}\) i w konsekwencji styczna ta jest prostą o równaniu

\(\displaystyle{ y=ax+2a+1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\).

Styczna ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem. Będziemy szukać takich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\), dla których równanie

\(\displaystyle{ x^2+((ax+2a+1+2)^2=\frac{16}{5}}\)

ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Mamy \(\displaystyle{ x^2+(ax+2a+3)^2=\frac{16}{5}}\), więc \(\displaystyle{ (a^2+1)x^2+2a(2a+3)x+(2a+3)^2-\frac{16}{5}=0}\). W konsekwencji musi być \(\displaystyle{ \Delta=0}\), więc \(\displaystyle{ 4a^2(2a+3)^2-4(a^2+1)(2a+3)^2+\frac{64}{5}(a^2+1)=0}\). Stąd dostajemy \(\displaystyle{ \frac{16}{5}(a^2+1)-(2a+3)^2=0}\) i ostatecznie \(\displaystyle{ a=-14\frac{1}{2}}\) lub \(\displaystyle{ a=-\frac{1}{2}}\).
Zatem otrzymujemy dwa równania stycznych postaci: \(\displaystyle{ y=-14\frac{1}{2}x-28}\), \(\displaystyle{ y=-\frac{1}{2}x}\). Pierwsza ze stycznych przecina oś OY w punkcie \(\displaystyle{ (0,-28)}\), a druga w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\).