wyprowadzić twierdzenie
wyprowadzić twierdzenie
Wyprowadzić twierdzenie pitagorasa i twierdzenie cosinusów wykorzystując iloczyn skalarny
-
Wasilewski
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
wyprowadzić twierdzenie
Czyli zakładam, że znamy geometryczną interpretację iloczynu skalarnego. Zaczepmy w jednym punkcie wektory \(\displaystyle{ \vec{a} \ i \ \vec{b}}\), ustawione pod kątem \(\displaystyle{ \alpha < \pi}\)
Weźmy wektor \(\displaystyle{ \vec{c} = \vec{a} - \vec{b}}\)
Mnożymy obustronnie przez \(\displaystyle{ (\vec{a} - \vec{b})}\)
\(\displaystyle{ \vec{c}\circ(\vec{a} - \vec{b}) = (\vec{a} - \vec{b})\circ(\vec{a} - \vec{b}) \\
\vec{c} \circ \vec{c} = \vec{a}\circ \vec{a} - 2 \vec{a}\circ \vec{b} + \vec{b} \circ \vec{b}}\)
Korzystając z tego że:
\(\displaystyle{ \vec{a}\circ \vec{a} = a^2 \\
\vec{a}\circ \vec{b} = abcos\alpha \\
c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos\alpha}\)
W trójkącie prostokątnym:
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{2} \\
c^2 = a^2 + b^2}\)
Weźmy wektor \(\displaystyle{ \vec{c} = \vec{a} - \vec{b}}\)
Mnożymy obustronnie przez \(\displaystyle{ (\vec{a} - \vec{b})}\)
\(\displaystyle{ \vec{c}\circ(\vec{a} - \vec{b}) = (\vec{a} - \vec{b})\circ(\vec{a} - \vec{b}) \\
\vec{c} \circ \vec{c} = \vec{a}\circ \vec{a} - 2 \vec{a}\circ \vec{b} + \vec{b} \circ \vec{b}}\)
Korzystając z tego że:
\(\displaystyle{ \vec{a}\circ \vec{a} = a^2 \\
\vec{a}\circ \vec{b} = abcos\alpha \\
c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos\alpha}\)
W trójkącie prostokątnym:
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{2} \\
c^2 = a^2 + b^2}\)