czworokąt wpisany w okrąg

Adrianoli · Post autor: **Adrianoli** » 13 mar 2008, o 11:28

Dany jest czwrokąt wpiany w okrąg o kolejnych bokach długości 5,6,4,7. oblicz kąt między bokami długości 5 i 7.

Znam sposób by to obliczyć w sumie teoretyczny tylko bo wychodzą takie liczby że juz ciężko wyznaczyć kąt.

Mój sposób polega na tym by obliczyć pole czworokąta. następnie puścić przekątną tego czworokąta. Ta przekątna podzieli nam czworokąt na dwa trójkaty. Używamy wtedy wzoru herona na jednym trójkącie i drugim. Przekątna jest moją niewiadomą. Suma pól dwóch trójkatów jest równa polu czworokata, które obliczyłem. Te właśnie równanie by policzyć przekątną jest bardzo skomplikowane. Jak bym policzył przekątną to wtedy mógłbym użyć twierdzenia cosinusów by obliczyć szukany kąt.

Zna ktoś inną lepszą metode by rozwiązać to zadanie??

Symetralna · Post autor: **Symetralna** » 13 mar 2008, o 16:34

Można od razu skorzystać z tw. cosinusów (dwa razy). Kąt szukany i kąt na przeciw niego daja razem \(\displaystyle{ 180^{o}}\). Powstanie układ równań z dwiema niewiadomymi:

\(\displaystyle{ x^{2} = 7^{2} + 5^{2} - 2* 7*5 * cos\alpha}\)

\(\displaystyle{ x^{2} = 6^{2} + 4^{2} - 2* 6*4 * cos( 180^{o}- )}\)