Okręgi styczne

[pan_talon]

Mam problem z jednym zadankiem z matmy:

Na pewnym odcinku obrano punkt, dzielący go na dwa mniejsze a i b. Następnie, na obu mniejszych odcinkach a i b, jako na srednicach, utworzono okręgi. Na koniec utworzono okrąg, do którego oba te okręgi są styczne zewnętrznie (jest on oparty na sumie a+b).

Zadanie - obliczyć promień okręgu stycznego do wszystkich tych trzech okręgów.

Rys. pomocniczy:

r=?

Z gory dziekuje za pomoc!

[W_Zygmunt]

\(\displaystyle{ Z\, \bigtriangleup MNP}\)
\(\displaystyle{ |SP|^{2}\,=\,|MP|^{2} + |MS|^{2} - 2\cdot |MP|\cdot |MO|\cdot \cos(\alpha )}\)
\(\displaystyle{ Z\, \bigtriangleup MSP}\)
\(\displaystyle{ |NP|^{2}\,=\,|MP|^{2} + |MN|^{2} - 2\cdot |MP|\cdot |MN|\cdot \cos(\alpha )}\)
\(\displaystyle{ |SP|\,=\,R - r\,=\,\frac{ a + b }{2} - r}\)
\(\displaystyle{ |MP|\,=\,\frac{a}{2} + r}\)
\(\displaystyle{ |MS|\,=\,\frac{ a + b }{2} - \frac{a}{2}\,=\,\frac{b}{2}}\)
\(\displaystyle{ |MN|\,=\,\frac{ a + b }{2}}\)
\(\displaystyle{ |PN|\,=\,\frac{b}{2} + r}\)
Podstawiając, mamy dwa równania o niewiadomych r i \(\displaystyle{ \alpha}\).

[Neovigo]

(to ja, pan_talon, zarejestrowalem sie...)

\(\displaystyle{ |SP|^2=|MP|^2+|MS|^2-2\cdot|MP|\cdot|MO|\cdot cos(\alpha)}\)

Jak mniemam, zamiast MO miało być MS, czyli równanie ma postać

\(\displaystyle{ |SP|^2=|MP|^2+|MS|^2-2\cdot|MP|\cdot|MS|\cdot cos(\alpha)}\)

tak?

I jeszcze takie pytanie - jak (i czy w ogóle) można obliczyć \(\displaystyle{ \alpha}\) nie używając arcusów?

[W_Zygmunt]

Oczywiście ma być MS, (najpierw oznaczyłem O, potem zmieniłem na S).
W tym przypadku w ogóle nie trzeba wyliczać \(\displaystyle{ \alpha}\), wystarczy wyliczyć
\(\displaystyle{ \cos(\alpha )}\) z jednego równania i wstawić do drugiego.

[Neovigo]

No tak, faktycznie, dzięki...

Licząc tak, wyszło mi, że \(\displaystyle{ r=\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}}\).

Może ktoś potwierdzić wynik?

PS. W_ZYGMUNT, mam pytanie - w jakim programie stworzyłeś rysunek? Paint, czy jakiś inny, specjalistyczny?

[kuch2r]

W_ZYGMUNT tworzy rysunki w autocadzie