w ukladzie wspolrzednych

[andrzejskurcz]

W kartezjańskim układzie współrzędnych zaznaczono 5 punktów o współrzędnych całkowitych (punktów kratowych). Wykaż, że środek odcinka łączącego pewne dwa spośród tych punktów także jest punktem kratowym.

[Sir George]

Środek odcinka łączącego dwa punkty kratowe jest punktem kratowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie współrzędne końców są tej samej parzystości.
Popatrzmy najpierw na pierwszą współrzędną. Wśród 5 punktów są przynajmniej 3, które mają pierwszą współrzędną o takiej samej parzystości (z zasady szufladkowej Dirichleta). Wśród owych 3 punktów są przynajmniej dwa, które mają drugą współrzędną takiej samej parzystości. Odcinek o końcach w owych punktach ma środek w punkcie kratowym.

Podobnie można pokazać, że w przestrzeni wystarczy 9 punktów, itp....