okrąg wpisany w trójkąt równoboczny

[piwne_oko]

W trójkąt równoboczny ABC wpisano okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ S(3,-1)}\). Wiedząc że \(\displaystyle{ C(1,-3)}\) wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trójkąta.

[lukasz1804]

Wyznaczymy najpierw długość \(\displaystyle{ a}\) boku trójkąta ABC.
Zauważmy, że środki okręgów wpisanego w trójkąt równoboczny i opisanego na nim się pokrywają. Zatem punkt \(\displaystyle{ S(3,-1)}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC.
Co więcej, promień \(\displaystyle{ R}\) okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy

\(\displaystyle{ R=|CS|=\sqrt{(1-3)^2+(-1+3)^2}=2\sqrt{2}}\).

Stąd i ze wzoru \(\displaystyle{ R=\frac{a\sqrt{3}}{3}}\) dostajemy \(\displaystyle{ a=2\sqrt{6}}\). Ponadto równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC jest postaci

\(\displaystyle{ (x-3)^2+(y+1)^2=R^2=8}\).

Współrzędne wierzchołków A i B trójkąta wyznaczymy teraz szukając na tym okręgu punktów oddalonych od punktu C o długość boku \(\displaystyle{ a=2\sqrt{6}}\).
Mamy

\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-3)^2+(y+1)^2=8 \\ (x-1)^2+(y+3)^2=a^2=24 \end{cases}}\).

Odejmując pierwsze rónanie stronami od drugiego dostajemy \(\displaystyle{ 4x+4y=16}\), czyli \(\displaystyle{ y=4-x}\). Wstawiając otrzymaną zależność np. do pierwszego równania układu łatwo otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x^2-8x+13=0}\). Stąd \(\displaystyle{ x=4-\sqrt{3}}\) lub \(\displaystyle{ x=4+\sqrt{3}}\). W konsekwencji dostajemy dwa punkty będące rozwiązaniem zadania: \(\displaystyle{ (4-\sqrt{3},\sqrt{3})}\) oraz \(\displaystyle{ (4+\sqrt{3},-\sqrt{3})}\).
Pozdrawiam.