Punkty przecięcia paraboli z prostą

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Awatar użytkownika
kiero
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 18 mar 2007, o 17:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 54 razy

Punkty przecięcia paraboli z prostą

Post autor: kiero »

Punkty przecięcia paraboli \(\displaystyle{ y=x^{2}-2x-8}\) z prostą \(\displaystyle{ 2x+y-1=0}\) są końcami przekątnej rombu, którego pole jest równe 30. Oblicz współrzędne wierzchołków tego rombu oraz długość jego boku.
Awatar użytkownika
escargot
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 477
Rejestracja: 30 paź 2007, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°N, 21°E
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 143 razy

Punkty przecięcia paraboli z prostą

Post autor: escargot »

szukamy współrzednych końca pierwszej przekątnej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-1=0 \\ y=x^{2}-2x-8 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-3 \\ y=-5 \end{cases} \begin{cases} x=3 \\ y=7 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ A(-3,-5) \ , \ C(3,7)}\) liczymy długość przekątnej \(\displaystyle{ |AC|}\):
\(\displaystyle{ |AC|=6\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{|AC| |BD|}{2} \ \ |BD|=2\sqrt{5}}\)

Korzystając z faktu, że przekątne rombu dzielą sie na połowy i przecinają się pod kątem prostym:
środek odcinka \(\displaystyle{ |AC|}\) ma współ. \(\displaystyle{ S (0,1)}\)
prosta prostodadła do odcinka \(\displaystyle{ |AC|}\) przechodząca przez jego środek ma równanie: \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x+1}\). Obliczasz współrzędną punktu \(\displaystyle{ B}\) korzystając z tego, że leży on na tej prostej i \(\displaystyle{ |BS|=\sqrt{5}}\). Punkt \(\displaystyle{ D}\) jest obrazem punkt \(\displaystyle{ C}\) w symetrii względem prostej \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x+1}\).
ODPOWIEDZ