Znajdź zbiór środków cięciw... A. Kiełbasa
-
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 8 gru 2007, o 12:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ełk
- Podziękował: 21 razy
Znajdź zbiór środków cięciw... A. Kiełbasa
Znajdź zbiór środków wszystkich cięciw okręgu \(\displaystyle{ x^2+y^2+4y+3=0}\), wyznaczone przez proste przechodzące przez punkt \(\displaystyle{ P=(0,1)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 80
- Rejestracja: 10 lis 2006, o 09:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 28 razy
Znajdź zbiór środków cięciw... A. Kiełbasa
równanie opisuje okgąg o środku w punkcie S=(0,-2) i promieniu r=1
proste przechodzące przez punkt P będą miały równanie \(\displaystyle{ k: mx-y+1-0}\)
teraz musisz wyznaczyć oba punkty styczności z okręgiem prostych przechodzących przez ten punkt. czyli odległość środka okręgu od prostej k musi być równa promieniowi okręgu.
\(\displaystyle{ \frac{ ft|2+1 \right| }{ \sqrt{ m^{2}+1 }}=1}\)
stąd \(\displaystyle{ m= \sqrt{8}}\) lub \(\displaystyle{ m=- \sqrt{8}}\).
zatem proste styczne do okręgu i przechodzące przez punkt P mają postać \(\displaystyle{ y= \sqrt{8}x+1}\) lub \(\displaystyle{ y= -\sqrt{8}x+1}\).
teraz aby wyznaczyć punkty styczności danych prostych z okręgiem należy rozwiązać 2 układy równań
1)\(\displaystyle{ \begin{cases} y= \sqrt{8}x+1\\ x^{2}+ y^{2} +4y+3=0 \end{cases}}\) i 2)\(\displaystyle{ \begin{cases} y=- \sqrt{8}x+1\\ x^{2}+ y^{2} +4y+3=0 \end{cases}}\)
dostajemy 2 punkty \(\displaystyle{ K=( \frac{ \sqrt{8} }{3}, - \frac{5}{3}) \ L=( \frac{ -\sqrt{8} }{3}, - \frac{5}{3} )}\)
szukanym zbiorem punktów będzie fragment okręgu do którego należeć będą punkty S, K, L
podstawiamy ich współrzędne do równania okręgu postaci \(\displaystyle{ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}= r^{2}}\)
i otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}a^{2}+(-2-b)^{2}= r^{2} \\( \frac{ -\sqrt{8} }{3}-a)^{2}+(- \frac{5}{3} -b)^{2}= r^{2}\\( \frac{ \sqrt{8} }{3}-a)^{2}+(-\frac{5}{3} -b)^{2}= r^{2}\end{array}}\)
jego rozwiązanie to: \(\displaystyle{ a=0,\ b=- \frac{1}{2}, \ r= \frac{3}{2}}\)
zatem szukane punkty tworzą fragment okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+(y+ \frac{1}{2} )^{2}= \frac{9}{4}}\)
ale \(\displaystyle{ -2\leqslant y qslant - \frac{5}{3}}\)
ufffff..... ale się namęczyłam żeby to zapisać
w razie niejasności pisz
proste przechodzące przez punkt P będą miały równanie \(\displaystyle{ k: mx-y+1-0}\)
teraz musisz wyznaczyć oba punkty styczności z okręgiem prostych przechodzących przez ten punkt. czyli odległość środka okręgu od prostej k musi być równa promieniowi okręgu.
\(\displaystyle{ \frac{ ft|2+1 \right| }{ \sqrt{ m^{2}+1 }}=1}\)
stąd \(\displaystyle{ m= \sqrt{8}}\) lub \(\displaystyle{ m=- \sqrt{8}}\).
zatem proste styczne do okręgu i przechodzące przez punkt P mają postać \(\displaystyle{ y= \sqrt{8}x+1}\) lub \(\displaystyle{ y= -\sqrt{8}x+1}\).
teraz aby wyznaczyć punkty styczności danych prostych z okręgiem należy rozwiązać 2 układy równań
1)\(\displaystyle{ \begin{cases} y= \sqrt{8}x+1\\ x^{2}+ y^{2} +4y+3=0 \end{cases}}\) i 2)\(\displaystyle{ \begin{cases} y=- \sqrt{8}x+1\\ x^{2}+ y^{2} +4y+3=0 \end{cases}}\)
dostajemy 2 punkty \(\displaystyle{ K=( \frac{ \sqrt{8} }{3}, - \frac{5}{3}) \ L=( \frac{ -\sqrt{8} }{3}, - \frac{5}{3} )}\)
szukanym zbiorem punktów będzie fragment okręgu do którego należeć będą punkty S, K, L
podstawiamy ich współrzędne do równania okręgu postaci \(\displaystyle{ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}= r^{2}}\)
i otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}a^{2}+(-2-b)^{2}= r^{2} \\( \frac{ -\sqrt{8} }{3}-a)^{2}+(- \frac{5}{3} -b)^{2}= r^{2}\\( \frac{ \sqrt{8} }{3}-a)^{2}+(-\frac{5}{3} -b)^{2}= r^{2}\end{array}}\)
jego rozwiązanie to: \(\displaystyle{ a=0,\ b=- \frac{1}{2}, \ r= \frac{3}{2}}\)
zatem szukane punkty tworzą fragment okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+(y+ \frac{1}{2} )^{2}= \frac{9}{4}}\)
ale \(\displaystyle{ -2\leqslant y qslant - \frac{5}{3}}\)
ufffff..... ale się namęczyłam żeby to zapisać
w razie niejasności pisz