Współrzędne wierzchołków rombu

[EvilClown]

Środkiem symetrii rombu jest punkt O (0,0). Jednym wierzchołkiem rombu jest punkt A (2,2). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu wiedząc, że jego pole wynosi 4.

Jakże to można zrobić? Z góry dziękuję za jakąkolwiek pomoc.

[Hallena]

środek symetrii rombu jest punktem przeciecia przekątnych.


oblicz odległość pomiędzy srodkiem O i punktem - będzie to połowa przekatnej zaś połowę drugiej ze wzoru na pole
\(\displaystyle{ P=\frac{e{\cdot}f}{2}}\) gdzie e, f to przekątne
weź też pod uwagę, że przekątne przecinają się pod kątem prostym.

[Dynn]

Pole rombu można obliczyć ze wzoru \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}d_1d_2}\), gdzie \(\displaystyle{ d_1, d_2}\) - przekątne rombu.
Punkt (0,0) jest środkiem symetrii, a przeciwległy do (2,2) wierzchołek jest jego obrazem w symetrii środkowej względem (0,0), czyli (-2, -2). Przekątna rombu między nimi będzie ma zatem długość \(\displaystyle{ 4 \sqrt{2}}\).

Z pierwszego wzoru możemy policzyć długość drugiej przekątnej: \(\displaystyle{ d_2=\frac{2P}{d_1}}\)
czyli \(\displaystyle{ d_2= \frac{2*4}{4\sqrt{2}}=\sqrt{2}}\).

Ponieważ mamy do czynienia z rombem, przekątne są do siebie prostopadłe i dzielą się nawzajem na połowy. W takim razie druga przekątna leży na prostej \(\displaystyle{ y=-x}\), a oba jej końce (wierzchołki rombu) leżą w równej odległości od środka symetrii rombu (punktu (0,0)) równej \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Jeśli chcemy rozpisać dalej formalnie możemy napisać układ równań, które muszą spełniać wierzchołki:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
y=-x\\
y^{2}+x^{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{cases}}\)
Rozwiązując otrzymamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=\frac{1}{2}\\
y=-\frac{1}{2}
\end{cases}
\bigvee
\begin{cases}
x=-\frac{1}{2}\\
y=\frac{1}{2}
\end{cases}}\)