Trapez i os symetri

[paka1234]

Punkty A=(1,-2),D=(-2,2) są kolejnymi wierzchołkami trapezu ABCD.Prosta x+2y-7=0 jest osią symetri tego trapezu.Znajdz pozostałe wierzchołki trapezu oraz oblicz jego pole

[bosz]

no to zacznij znajdywac.. przeciez to proste..
A i D za koncami boku nie bedacego podstawa.. znajdz punkty do nich symetryczne - i juz..

[Szemek]

\(\displaystyle{ m:x+2y-7=0 \\
m:2y=-x+7 \\
m:y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2} \\
k:y=ax+b \\
k \perp m \iff a (-\tfrac{1}{2}) = -1 \\
k:y=2x+b}\)

\(\displaystyle{ A\in k \\
-2=2+b \\
b=-4 \\
k:y=2x-4 \\
\begin{cases} y=2x-4 \\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2} \end{cases} \\
\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases} \\
S_{AB}(3,2) \\
(3,2) = (\frac{1+x_b}{2}, \frac{-2+y_b}{2}) \\
B(5,6)}\)

\(\displaystyle{ D\in k \\
2=-4+b \\
b=6 \\
k:y=2x+6 \\
\begin{cases} y=2x+6 \\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2} \end{cases} \\
\begin{cases} x=-1 \\ y=4 \end{cases} \\
S_{CD}(-1,4) \\
(-1,4) = (\frac{-2+x_c}{2}, \frac{2+y_c}{2}) \\
C(0,6)}\)

[ Dodano: 24 Lutego 2008, 00:31 ]
\(\displaystyle{ A(1,-2) \qquad B(5,6)}\)
\(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(5-1)^2+(6+2)^2}=4\sqrt{5}}\)

\(\displaystyle{ C(0,6) \qquad D(-2,2)}\)
\(\displaystyle{ |CD|=\sqrt{(-2-0)^2+(2-6)^2}=2\sqrt{5}}\)

\(\displaystyle{ k_1:y=2x-4 \qquad k_2:y=2x+6 \\
d(k_1,k_2)=\frac{|-4-6|}{\sqrt{1+2^2}} = 2\sqrt{5}}\)

\(\displaystyle{ P=\frac{(4\sqrt{5}+2\sqrt{5})\cdot 2\sqrt{5}}{2} = 30}\)

[bosz]

Skoro juz za niego zaczalles znajdowac.. to ja bym to zrobil tak
\(\displaystyle{ l: x+2y-7=0}\)
wiec wektor prostopadly do osi symetrii to:
\(\displaystyle{ [1,2]}\)
prosta przechodzaca przez punkt \(\displaystyle{ P(x_P,y_P)}\) na rownanie
\(\displaystyle{ 2*(x-x_P) - 1*(y-y_P) =0}\)

dla punktu\(\displaystyle{ A(1,-2)}\) daje to prosta:

\(\displaystyle{ 2*(x-1)-(y+2)=0}\)
czyli
\(\displaystyle{ m:2*x-y -4=0}\)




dla punktu \(\displaystyle{ D(-2,2)}\)

\(\displaystyle{ 2*(x+2)-(y-2)=0}\)

czyli

\(\displaystyle{ n: 2*x- y+6=0}\)


punkt (A_0) bedacy na osi symetrii i prostej m
\(\displaystyle{ x+2y-7=0
2*x-y -4=0}\)

co jest rownowazne

\(\displaystyle{ x+2y-7=0
4*x-2y -8=0}\)

\(\displaystyle{ 5*x -15=0
2*x-y -4=0}\)


\(\displaystyle{ x = 3
y =4-2*3=-2}\)

\(\displaystyle{ A(3,-2)}\)

podobnie

\(\displaystyle{ n: 2*x- y+6=0}\)

\(\displaystyle{ l: x+2y-7=0}\)

\(\displaystyle{ n: 5*x+5=0}\)


\(\displaystyle{ n: x=-1}\)

\(\displaystyle{ y=4}\)
\(\displaystyle{ x_B-x_A_0=(x_A_0-x_A)}\)

skad
\(\displaystyle{ x_B =x_A_0+(x_A_0-x_A)=2*x_A_0 -x_A}\)

\(\displaystyle{ x_B=2*3-1= 5}\)
analogicznie
\(\displaystyle{ y_B =2*y_A_0 -y_A}\)
\(\displaystyle{ y_B=2*2+2= 6}\)

analogicznie

\(\displaystyle{ x_C =2*x_D_0 -x_C}\)
\(\displaystyle{ y_C =2*y_D_0 -y_C}\)

\(\displaystyle{ C(0,6)}\)