Styczne

[chillout89]

Znajdź równanie stycznych do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)= x^{3} -7x ^{2} + 1}\) równoleglych do prostej y=5x-2.

[lukasz1804]

Z warunku rónoległości prostych wynika, że styczna musi być określona wzorem \(\displaystyle{ y=5x+b}\) dla pewnego \(\displaystyle{ b\in\mathbb{R}}\).
Funkcja\(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Zatem wystarczy znaleźć te wartości \(\displaystyle{ x}\), dla których \(\displaystyle{ f'(x)=5}\). Mamy

\(\displaystyle{ 5=3x^2-14x}\),

więc \(\displaystyle{ 3x^2-15x+x-5=0}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ 3x(x-5)+(x-5)=0}\), czyli \(\displaystyle{ (3x+1)(x-5)=0}\). W konsekwencji \(\displaystyle{ x=-\frac{1}{3}}\) lub \(\displaystyle{ x=5}\).
Mamy ponadto \(\displaystyle{ f(-\frac{1}{3})=\frac{5}{27}}\) oraz \(\displaystyle{ f(5)=-49}\). Stąd otrzymujemy następujące równania stycznych do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\): \(\displaystyle{ y-f(-\frac{1}{3})=5(x+\frac{1}{3})}\), \(\displaystyle{ y-f(5)=5(x-5)}\). Zatem

\(\displaystyle{ y=5x+\frac{50}{27}}\)

oraz

\(\displaystyle{ y=5x-74}\).