dwa trudne zadania z wektorow

[Jumparround]

1. Wykazac, ze jezeli wektory \(\displaystyle{ \vec{A}, \vec{B}, \vec{C} i \vec{D}}\) maja wspolny poczatek, a ich konce leza na jednej plaszczyznie to \(\displaystyle{ \vec{D} = \vec{A}+ \beta\vec{B} + \gamma\vec{C}}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma = 1}\).

2. Wektor \(\displaystyle{ \vec{a}}\) tworzy z osia OX kat \(\displaystyle{ 60 ^{o}}\), a z osia OZ kat \(\displaystyle{ 135^{o}}\). Jaki jest kat pomiedzy wektorem \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i osia OY?


Jak to zrobic ?

[Qń]

Ad 1.
Wektory \(\displaystyle{ \vec{A}-\vec{D}, \vec{B}-\vec{D}, \vec{C}-\vec{D}}\) leżą w jednej płaszczyźnie (dlaczego?). Oznacza to, że są liniowo zależne, można więc dobrać liczby \(\displaystyle{ \alpha , \beta , \gamma}\), tak, by:
\(\displaystyle{ \alpha (\vec{A}-\vec{D}) + \beta (\vec{B}-\vec{D}) + \gamma ( \vec{C}-\vec{D} ) = \vec{0}}\)
i bez straty ogólności można przyjąć, że \(\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma = 1}\) (dlaczego?). Stąd od razu wynika teza.

Ad 2.
\(\displaystyle{ 60^o}\). Wskazówka: narysuj prostopadłościan, którego główną przekątną jest dany wektor i pokaż, że jego podstawą jest kwadrat.

Q.