Oblicz pole i obwód figury F

[JustaK]

Oblicz pole i obwód figury F, gdzie \(\displaystyle{ F=}\){\(\displaystyle{ (x,y):x R y R log_{3}^{2}(x^{2}+y^{2})-3log_{3}(x^{2}+y^{2})+2 qslant 0}\)}

[lukasz1804]

Zauważmy, ze \(\displaystyle{ (0,0)\notin F}\). Co więcej warunek \(\displaystyle{ \log_3^2(x^2+y^2)-3\log_3(x^2+y^2)+2\leq 0}\) jest równoważny następującej nierówności \(\displaystyle{ (\log_3(x^2+y^2)-1)(\log_3(x^2+y^2)-2)\leq 0}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ 1\leq\log_3(x^2+y^2)\leq 2}\), czyli wobec monotoniczności funkcji logarytmicznej \(\displaystyle{ 3\leq x^2+y^2\leq 9}\). Zbiór F jest zatem pierścieniem kołowym ograniczonym od zewnątrz okręgiem o środku w (0,0) i promieniu \(\displaystyle{ 3}\), a od wewnątrz okręgiem o środku w (0,0) i promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\).
Stąd obwód figury F jest sumą obwodów dwóch ograniczających go okręgów, tj. \(\displaystyle{ 2\pi(3+\sqrt{3})}\). Pole figury F jest równe natomiast \(\displaystyle{ \pi\cdot 3^2-\pi\cdot(\sqrt{3})^2=6\pi}\).

[Szemek]

\(\displaystyle{ x^2+y^2>0 \\
t=\log_3(x^2+y^2) \\
t^2-3t+2\leq 0 \\
(t-1)(t-2)\leq 0 \\
t\geq 1 t\leq 2 \\
\log_3(x^2+y^2) q 1 \log_3(x^2+y^2) q 2 \\
x^2+y^2 q 3 x^2+y^2 q 9}\)

wyszedł mi taki pierścień: