Znajdź kąt jaki tworzy prosta

[Piccolo_Jr]

Znajdź kąt jaki tworzy prosta \(\displaystyle{ l_{1}:\begin{cases}x=2z-1\\y=-2z+1\end{cases}}\) z prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych i punkt \(\displaystyle{ A(1,-1,1)}\)

[soku11]

Ja bym to kombinowal tak:
\(\displaystyle{ l_1:\begin{cases} x=-1+2t\\y=1-2t\\z=t\end{cases},\ t\in\mathbb{R}\\
l_2:\begin{cases} x=s\\y=-s\\z=s\end{cases},\ s\in\mathbb{R}\\}\)

Mamy wiec odrazu dwa wektory kierunkowe tych prostych:
\(\displaystyle{ \vec{l_1}=[2,-2,1]\\
\vec{l_2}=[1,-1,1]\\}\)

Kat miedzy prostymi bedzie wiec katem miedzy wektorami, ktorego cosinus wyraza sie wzorem:
\(\displaystyle{ \cos\phi=\frac{\vec{l_1}\circ\vec{l_2}}{|\vec{l_1}|\cdot |\vec{l_2}|}=
\frac{2+2+1}{\sqrt{4+4+1}\cdot \sqrt{1+1+1}}=
\frac{5}{3\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{9}\\
\phi=\arccos\left(\frac{5\sqrt{3}}{9}\right)}\)

Chyba wszystko jest ok. POZDRO