Wyznaczanie równania prostej

[Krisb]

Dane jest \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x}}\). Należy wyznaczyć równanie prostej \(\displaystyle{ y= ax + b (a 0)}\), która z wykresem funkcji ma tylko jeden punkt wspólny \(\displaystyle{ A= (2, \frac{1}{2})}\)

[escargot]

czyli to powinna być prosta styczna:
\(\displaystyle{ A=(2,\frac{1}{2})}\)

\(\displaystyle{ f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}}\)
\(\displaystyle{ f'(2)=-\frac{1}{4}}\), stąd \(\displaystyle{ a=-\frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}=-\frac{1}{4} 2+b \ \ \ \ b=1}\)

prosta \(\displaystyle{ l: \ y=-\frac{1}{4}x+1}\)

[Krisb]

Czy jest możliwość rozwiązania tego zadania bez pochodnych funkcji (nie miałem ich jeszcze wprowadzonych)? Z góry dzięki

[alkamid]

Ponawiam pytanie poprzednika.

[kujdak]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}=2a+b\\
b=\frac{1}{2}-2a\\
y=ax+\frac{1}{2}-2a\\
\\
\frac{1}{x}=ax+\frac{1}{2}-2a\\
ax^{2}-(2a-\frac{1}{2})x-1\\
\Delta_{x} =4a^{2}+2a+\frac{1}{2}\\
\Delta_{a}=0\\
\\
a=\frac{-2}{8}\\
a=-\frac{1}{4}\\
y=ax+\frac{1}{2}-2a\\
y=-\frac{1}{4}x+1}\)

[JankoS]

Ponawiam pytanie poprzednika.

To jest komentarz do rozwiązania Kolegi kujdaka
Fznkcje \(\displaystyle{ y=\frac{1}{x} , \ y=ax+b}\) są styczne gdy układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=\frac{1}{x}\\ y=ax+b\end{cases}}\)
ma jedno rozwiązanie.
Do zupełności rozwiązania należy jeszcze pokazać, że prosta postaci x=m nie może być styczna do y=1/x.

[kujdak]

Do zupełności rozwiązania należy jeszcze pokazać, że prosta postaci x=m nie może być styczna do y=1/x.

czyli jak to wykazać ?

[alkamid]

Wielkie dzięki kujdak!

\(\displaystyle{ \Delta_{x} =4a^{2}+2a+\frac{1}{2}}\)

Żeby potomni się nie pogubili, tu powinno być \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) zamiast \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

[JankoS]

Do zupełności rozwiązania należy jeszcze pokazać, że prosta postaci x=m nie może być styczna do y=1/x.

czyli jak to wykazać ?

Zdanie o prostej x=m "napisało mi się" z rozpędu, a dokładnie to chyba z metody "rozważania wszystkich przypadków".
Pytanie Kolegi zabiło mi ćwieka.
W analizie jedyną (?) definicją prostej stycznej w pinkcie do wykresu funkcji jest definicja z zastosowaniem pochodnych, w której prosta styczna też jest funkcją, a więc nie może byc postulowanej przeze mnie postaci.
Pozdrawiam. JanKo.