Witam
Jak udowodnić, że wysokości w trójkącie przecinają się w jednym punkcie?
Wysokości w trójkącie
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Wysokości w trójkącie
Oznaczmy trójkąt przez \(\displaystyle{ ABC}\), niech też \(\displaystyle{ D,E}\) będą spodkami wysokości opuszczonych odpowiednio z \(\displaystyle{ A,B}\), \(\displaystyle{ O}\) - punktem przecięcia tych wysokości, a \(\displaystyle{ F}\) - przecięciem prostej \(\displaystyle{ CO}\) z prostą \(\displaystyle{ AB}\). Aby udowodnić naszą tezę, musimy pokazać, że \(\displaystyle{ CF}\) jest prostopadłe do \(\displaystyle{ AB}\).
Na \(\displaystyle{ ODCE}\) można opisać okrąg, zatem \(\displaystyle{ \sphericalangle DCF = DEB}\). Na \(\displaystyle{ ABDE}\) można opisać okrąg, zatem \(\displaystyle{ \sphericalangle DEB = DAB}\). Stąd \(\displaystyle{ \sphericalangle DCF = DAB}\), więc wnioskujemy, że na \(\displaystyle{ AFDC}\) można opisać okrąg, czyli \(\displaystyle{ \sphericalangle AFC = ADC = 90^o}\), co kończy dowód.
Warto przy tym zauważyć, że ten dowód działa także dla trójkąta rozwartokątnego (jeśli przy \(\displaystyle{ C}\) jest kąt ostry), choć argument dlaczego odpowiednie kąty są równe jest minimalnie różny.
Q.
Na \(\displaystyle{ ODCE}\) można opisać okrąg, zatem \(\displaystyle{ \sphericalangle DCF = DEB}\). Na \(\displaystyle{ ABDE}\) można opisać okrąg, zatem \(\displaystyle{ \sphericalangle DEB = DAB}\). Stąd \(\displaystyle{ \sphericalangle DCF = DAB}\), więc wnioskujemy, że na \(\displaystyle{ AFDC}\) można opisać okrąg, czyli \(\displaystyle{ \sphericalangle AFC = ADC = 90^o}\), co kończy dowód.
Warto przy tym zauważyć, że ten dowód działa także dla trójkąta rozwartokątnego (jeśli przy \(\displaystyle{ C}\) jest kąt ostry), choć argument dlaczego odpowiednie kąty są równe jest minimalnie różny.
Q.