Napisz rownanie ogolne i parametryczne plaszczyzny \(\displaystyle{ H}\), ktora zawiera prosta \(\displaystyle{ l}\):
\(\displaystyle{ l:\ \ \begin{cases}x=2t\\y=1\\z=2-t \end{cases}}\)
i jest prostopadla do plaszczyzny stycznej w punkcie \(\displaystyle{ P=(1,e,1)}\) do powierzchni o rownaniu\(\displaystyle{ z=xln\frac{y}{z}}\)
I przedewszystkim bym chcial to zrozumiec, wiec jesli sie znajdzie jakas dobra duszyczka i odpowiednio wytlumaczy.
Prosta, plaszczyzny, rownania parametryczne
-
Baby eS
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 20 lis 2010, o 16:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
Prosta, plaszczyzny, rownania parametryczne
Zacznijmy od tej drugiej płaszczyzny, nazwijmy ją \(\displaystyle{ \pi}\).
Wiemy, że jest ona styczna do płaszczyzny danej równaniem \(\displaystyle{ z=xln\frac{y}{z}}\) w punkcie \(\displaystyle{ P=(1,e,1)}\)
Teraz musimy policzyć tzw. gradient funkcji F (której wzór mamy dany jako równanie płaszczyzny) czyli \(\displaystyle{ F(xyz)= -xln\frac{y}{z}+z}\).
Gradient funkcji f w punkcie P jest to (przy założeniu, że wszystkie pochodne cząstkowe funkcji istnieją) wektor:
\(\displaystyle{ \nabla f(P)= ( \frac{ \partial f}{ \partial x_{1} } (P), \frac{ \partial f}{ \partial x_{2} } (P), ... , \frac{ \partial f}{ \partial x_{n} } (P))}\)
W naszym przypadku to będzie:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial x } = -ln\frac{y}{z}+(-x) \cdot \frac{z}{y} \\
\frac{ \partial F}{ \partial y } = -x \cdot \frac{z}{y} \cdot \frac{1}{z} \\
\frac{ \partial F}{ \partial z } = -x \cdot \frac{z}{y} \cdot y \cdot \frac{1}{ z^{2} } +1}\)
Gradient w punkcie P obliczamy podstawiając odpowiednie współrzędne za x, y i z:
\(\displaystyle{ \nabla F(1,e,1)=(-1- \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}, 2)}\)
Z twierdzenia wiemy, że gradient w punkcie P jest równy wektorowi normalnemu płaszczyzny stycznej do powierzchni w punkcie P.
Mieliśmy wzór płaszczyzny i punkt styczności tej płaszczyzny z powierzchnią \(\displaystyle{ \pi}\).
Teraz mając gradient mamy równocześnie wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) zaczepiony w punkcie P. Z zadania wiemy, że płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi}\) jest prostopadła do płaszczyzny \(\displaystyle{ H}\), której szukamy w zadaniu. Zatem wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) jest równoległy do płaszczyzny \(\displaystyle{ H}\).
Teraz zajmijmy się prostą l. Z jej równania parametrycznego możemy odczytać dwie rzeczy: współrzędne wektora równoległego do niej i punkt do niej należący. Jak?
\(\displaystyle{ l:\ \ \begin{cases}x=2t\\y=1\\z=2-t \end{cases}}\)
Każda linijka składa się z \(\displaystyle{ x_{i} = a + bt}\). Liczba a jest kolejną współrzędną punktu należącego do prostej, liczba b natomiast - kolejną współrzędną wektora równoległego do prostej. Stąd wiemy, że wektor równoległy do prostej ma współrzędne \(\displaystyle{ n=[2,0,-1]}\) a punkt należący do prostej \(\displaystyle{ Q=(0,1,2)}\). Skoro prosta jest równoległa do szukanej płaszczyzny, to wektor równoległy do prostej jest zarazem równoległy do tej płaszczyzny, a punkt należący do prostej należy również do tej płaszczyzny.
Mamy już dwa wektory równoległe do szukanej powierzchni oraz punkt do niej należący. Znalezienie równania parametrycznego powierzchni \(\displaystyle{ H}\) nie stanowi już problemu.
\(\displaystyle{ H:\ \ \begin{cases}x=2t + (-1- \frac{1}{e})s \\y=1 + 0t - \frac{1}{e}s \\z=2- t +2s \end{cases}}\)
Do równania ogólnego potrzebny nam jest wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ H}\), który z definicji jest do niej prostopadły. Mając dwa wektory równoległe, z iloczynu wektorowego liczymy współrzędne wektora prostopadłego do danych (więc i do płaszczyzny \(\displaystyle{ H}\)). Następnie podstawiamy do wzoru równania ogólnego i mamy:
\(\displaystyle{ H: \frac{1}{e}(x-0)+( \frac{-e-1}{e}-2)(y-1)+ \frac{2}{e}(z-2)=0 \\}\)
Gdzie \(\displaystyle{ \frac{1}{e} , \frac{-e-1}{e}-2, \frac{2}{e}}\) to współrzędne wektora normalnego płaszczyzny \(\displaystyle{ H}\).
Wiemy, że jest ona styczna do płaszczyzny danej równaniem \(\displaystyle{ z=xln\frac{y}{z}}\) w punkcie \(\displaystyle{ P=(1,e,1)}\)
Teraz musimy policzyć tzw. gradient funkcji F (której wzór mamy dany jako równanie płaszczyzny) czyli \(\displaystyle{ F(xyz)= -xln\frac{y}{z}+z}\).
Gradient funkcji f w punkcie P jest to (przy założeniu, że wszystkie pochodne cząstkowe funkcji istnieją) wektor:
\(\displaystyle{ \nabla f(P)= ( \frac{ \partial f}{ \partial x_{1} } (P), \frac{ \partial f}{ \partial x_{2} } (P), ... , \frac{ \partial f}{ \partial x_{n} } (P))}\)
W naszym przypadku to będzie:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial x } = -ln\frac{y}{z}+(-x) \cdot \frac{z}{y} \\
\frac{ \partial F}{ \partial y } = -x \cdot \frac{z}{y} \cdot \frac{1}{z} \\
\frac{ \partial F}{ \partial z } = -x \cdot \frac{z}{y} \cdot y \cdot \frac{1}{ z^{2} } +1}\)
Gradient w punkcie P obliczamy podstawiając odpowiednie współrzędne za x, y i z:
\(\displaystyle{ \nabla F(1,e,1)=(-1- \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}, 2)}\)
Z twierdzenia wiemy, że gradient w punkcie P jest równy wektorowi normalnemu płaszczyzny stycznej do powierzchni w punkcie P.
Mieliśmy wzór płaszczyzny i punkt styczności tej płaszczyzny z powierzchnią \(\displaystyle{ \pi}\).
Teraz mając gradient mamy równocześnie wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) zaczepiony w punkcie P. Z zadania wiemy, że płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi}\) jest prostopadła do płaszczyzny \(\displaystyle{ H}\), której szukamy w zadaniu. Zatem wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) jest równoległy do płaszczyzny \(\displaystyle{ H}\).
Teraz zajmijmy się prostą l. Z jej równania parametrycznego możemy odczytać dwie rzeczy: współrzędne wektora równoległego do niej i punkt do niej należący. Jak?
\(\displaystyle{ l:\ \ \begin{cases}x=2t\\y=1\\z=2-t \end{cases}}\)
Każda linijka składa się z \(\displaystyle{ x_{i} = a + bt}\). Liczba a jest kolejną współrzędną punktu należącego do prostej, liczba b natomiast - kolejną współrzędną wektora równoległego do prostej. Stąd wiemy, że wektor równoległy do prostej ma współrzędne \(\displaystyle{ n=[2,0,-1]}\) a punkt należący do prostej \(\displaystyle{ Q=(0,1,2)}\). Skoro prosta jest równoległa do szukanej płaszczyzny, to wektor równoległy do prostej jest zarazem równoległy do tej płaszczyzny, a punkt należący do prostej należy również do tej płaszczyzny.
Mamy już dwa wektory równoległe do szukanej powierzchni oraz punkt do niej należący. Znalezienie równania parametrycznego powierzchni \(\displaystyle{ H}\) nie stanowi już problemu.
\(\displaystyle{ H:\ \ \begin{cases}x=2t + (-1- \frac{1}{e})s \\y=1 + 0t - \frac{1}{e}s \\z=2- t +2s \end{cases}}\)
Do równania ogólnego potrzebny nam jest wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ H}\), który z definicji jest do niej prostopadły. Mając dwa wektory równoległe, z iloczynu wektorowego liczymy współrzędne wektora prostopadłego do danych (więc i do płaszczyzny \(\displaystyle{ H}\)). Następnie podstawiamy do wzoru równania ogólnego i mamy:
\(\displaystyle{ H: \frac{1}{e}(x-0)+( \frac{-e-1}{e}-2)(y-1)+ \frac{2}{e}(z-2)=0 \\}\)
Gdzie \(\displaystyle{ \frac{1}{e} , \frac{-e-1}{e}-2, \frac{2}{e}}\) to współrzędne wektora normalnego płaszczyzny \(\displaystyle{ H}\).