Znajdź równanie stycznych do okręgu \(\displaystyle{ (x+1)^2 + (y+1)^2 = 5}\) poprowadzonych z pkt A = (2,0)
Proszę o jak najjaśniejsze rozwiązanie z wytłumaczeniem. Siedzę juz nad tym zad troche i nie mam zadnego pomyslu. z Góry dzięki;]
Styczne do okręgu
-
Wasilewski
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Styczne do okręgu
Najpierw należy wyznaczyć współrzędne środka okręgu: \(\displaystyle{ S= (-1,-1)}\) oraz promień: \(\displaystyle{ r =\sqrt{5}}\)
Styczne do tego okręgu to wszystkie proste, których odległość od środka okręgu jest równa r, czyli dostajemy równanie ( ze wzoru na odległość punktu od prostej):
\(\displaystyle{ \frac{|A\cdot (-1) + B\cdot (-1) + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \sqrt{5} \\
\frac{|C - A - B|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \sqrt{5}}\)
Mamy też podane, że styczne przechodzą przez punkt (2,0), czyli możemy zapisać:
\(\displaystyle{ 2A + C = 0 C = -2A}\)
Podstawiamy do wzoru:
\(\displaystyle{ |-2A - A - B| = \sqrt{5A^2 + 5B^2}}\)
Podnosimy do kwadratu:
\(\displaystyle{ 9A^2 + B^2 + 6AB = 5A^2 + 5B^2 \\
4A^2 + 6AB - 4B^2 = 0 \\
2A^2 + 3AB - 2B^2 = 0}\)
Rozwiążmy to równanie z A jako niewiadomą:
\(\displaystyle{ \Delta = 9B^2 + 16B^2 = 25B^2 \\
A = \frac{-3B \sqrt{25B^2}}{4} = \frac{-3B 5B}{4} \\
A = \frac{B}{2} A = -2B}\)
Czyli podstawiając do wzoru na C:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A = \frac{B}{2} \\ C = -B \end{cases} \begin{cases} A = -2B \\C = 4B \end{cases}}\)
Mamy więc proste o równaniach:
\(\displaystyle{ \frac{B}{2}x + By -B = 0 -2B x + By + 4B = 0}\)
Czyli równania kierunkowe tych prostych to:
\(\displaystyle{ y = -\frac{x}{2} + 1 y = 2x - 4}\)
Styczne do tego okręgu to wszystkie proste, których odległość od środka okręgu jest równa r, czyli dostajemy równanie ( ze wzoru na odległość punktu od prostej):
\(\displaystyle{ \frac{|A\cdot (-1) + B\cdot (-1) + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \sqrt{5} \\
\frac{|C - A - B|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \sqrt{5}}\)
Mamy też podane, że styczne przechodzą przez punkt (2,0), czyli możemy zapisać:
\(\displaystyle{ 2A + C = 0 C = -2A}\)
Podstawiamy do wzoru:
\(\displaystyle{ |-2A - A - B| = \sqrt{5A^2 + 5B^2}}\)
Podnosimy do kwadratu:
\(\displaystyle{ 9A^2 + B^2 + 6AB = 5A^2 + 5B^2 \\
4A^2 + 6AB - 4B^2 = 0 \\
2A^2 + 3AB - 2B^2 = 0}\)
Rozwiążmy to równanie z A jako niewiadomą:
\(\displaystyle{ \Delta = 9B^2 + 16B^2 = 25B^2 \\
A = \frac{-3B \sqrt{25B^2}}{4} = \frac{-3B 5B}{4} \\
A = \frac{B}{2} A = -2B}\)
Czyli podstawiając do wzoru na C:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A = \frac{B}{2} \\ C = -B \end{cases} \begin{cases} A = -2B \\C = 4B \end{cases}}\)
Mamy więc proste o równaniach:
\(\displaystyle{ \frac{B}{2}x + By -B = 0 -2B x + By + 4B = 0}\)
Czyli równania kierunkowe tych prostych to:
\(\displaystyle{ y = -\frac{x}{2} + 1 y = 2x - 4}\)