Równania dwóch okregów

[JustaK]

Dany jest okrąg \(\displaystyle{ k_{1}}\) o równaniu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+6x+5=0}\) oraz okrąg \(\displaystyle{ k_{2}}\) o równaniu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-12x+8y+27=0}\). Oblicz współrzędne środka i skalę jednokładności, w której obrazem okręgu \(\displaystyle{ k_{1}}\) jest okrąg \(\displaystyle{ k_{2}}\).

[lukasz1804]

Przedstawmy najpierw rónania okręgów w postaci jawnej. Okrąg \(\displaystyle{ k_1}\) ma równanie \(\displaystyle{ (x+3)^2+y^2=4}\), więc współrzędne środka to (-3,0),a promień jest 2. Okrąg \(\displaystyle{ k_2}\) ma równanie \(\displaystyle{ (x-6)^2+(y+4)^2=25}\), więc współrzędne jego środka to (6,-4), a promień jest 5.
W konsekwencji skala jednokładności to stosunek promieni \(\displaystyle{ k_2}\) do \(\displaystyle{ k_1}\) lub liczba do niego przeciwna, czyli \(\displaystyle{ \frac{5}{2}}\) lub \(\displaystyle{ -\frac{5}{2}}\). Pozostaje wyznaczyć współrzędne (x,y) środka jednokładności w obydwu przypadkach.
Wiemy jednak, że punkt ten musi leżeć na prostej łączącej środki danych okręgów.
Mamy wobec tego dla \(\displaystyle{ k=-\frac{5}{2}}\):

\(\displaystyle{ 6=-\frac{5}{2}(-3-x)+x,\ -4=-\frac{5}{2}(0-y)+y}\),

więc \(\displaystyle{ (x,y)=(-\frac{3}{7},-\frac{8}{7})}\). Podobnie w przypadku \(\displaystyle{ k=\frac{5}{2}}\) mamy

\(\displaystyle{ 6=\frac{5}{2}(-3-x)+x,\ -4=\frac{5}{2}(0-y)+y}\),

czyli \(\displaystyle{ (x,y)=(-9,\frac{8}{3})}\).