punk symetryczny do punktu względem płaszczyzny

[nitka_angel]

Kolejne zadanko z którym nie mogę sobie poradzić:
Znaleźć punkt Q symetryczny do punktu R(5,2,-1) względem płaszczyzny x+2y+z+4=0
Dzięki:)

[lukasz1804]

Wyznaczymy najpierw współrzędne rzutu prostopadłego R' punktu R na płaszczyznę.
Wektor v prostopadły do płaszczyzny ma współrzędne (1,2,1). Niech l będzie prostą prostopadła do płaszczyzny i przechodzącą przez punkt R, tj. prostą daną równaniem parametrycznym postaci \(\displaystyle{ x=5+at,\ y=2+bt,\ z=-1+ct}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{R}}\). Wówczas dowolny wektor u równoległy do prostej l ma współrzędne \(\displaystyle{ (a,b,c)}\). Aby prosta l była prostopadła do płaszczyzny, wektory u i v muszą być równoległe. Stąd w szczególności można przyjąć, że u=v, czyli u=(1,2,1). Zatem prosta l ma równanie postaci \(\displaystyle{ x=t+5,\ y=2t+2,\ z=t-1}\).
Punkt R' otrzymamy jako punkt wspólny prostej l i płaszczyzny. Mamy \(\displaystyle{ t+5+4t+4+t-1+4=0}\), skąd wynika, że \(\displaystyle{ t=-2}\). Zatem R'=(3,-2,-3).
Zauważmy, że punkt R jest środkiem odcinka PQ. Zatem ze wzoru na współrzędne środka odcinka dostajemy Q=(1,-6,-5).