styczne do okręgu

[kamil1010]

Przez punkt \(\displaystyle{ P= (\frac{25}{3},0)}\) poprowadzono styczne do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2}= 25}\):
a) Napisz równania tych stycznych.
b) Oblicz pole trójkąta PKL, gdzie K i L są puntkami styczności.

[Szemek]

\(\displaystyle{ o(S,r):x^2+y^2=25}\)
\(\displaystyle{ S(0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ r=5}\)
\(\displaystyle{ k:y=ax+b}\)
\(\displaystyle{ P\in k}\)
\(\displaystyle{ 0=\frac{25}{3}a+b}\)
\(\displaystyle{ b=-\frac{25}{3}a}\)
\(\displaystyle{ k:y=ax-\frac{25}{3}a}\)
\(\displaystyle{ k:ax-y-\frac{25}{3}a=0}\)
\(\displaystyle{ d(S,k)=5}\)
\(\displaystyle{ \frac{|a\cdot 0 - 1\cdot 0 -\frac{25}{3}a|}{\sqrt{a^2+1^2}}=5}\)
\(\displaystyle{ |\frac{25}{3}a| = 5\sqrt{a^2+1^2} \quad |()^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{625}{9}a^2 = 25(a^2+1)}\)
\(\displaystyle{ \frac{25}{9}a^2 = a^2+1}\)
\(\displaystyle{ \frac{16}{9}a^2 - 1=0}\)
\(\displaystyle{ a^2 - \frac{9}{16}=0}\)
\(\displaystyle{ (a-\frac{3}{4})(a+\frac{3}{4})=0}\)
\(\displaystyle{ a=-\frac{3}{4} \vee a=\frac{3}{4}}\)
równania stycznych:
\(\displaystyle{ k:y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4} \vee k:y=\frac{3}{4}x-\frac{25}{4}}\)

[ Dodano: 10 Lutego 2008, 00:52 ]
Pole:
rozwiązując układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4} \\ x^2+y^2=25 \end{cases}}\)
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=3 \\ y=4 \end{cases}}\)
Oznaczmy \(\displaystyle{ K(3,4)}\)
Zauważmy, że trójkąt PKL jest symetryczny względem osi OX.
Rzutujemy punkt K prostopadle na oś OX -> rzutem będzie punkt \(\displaystyle{ K'(3,0)}\)

\(\displaystyle{ |KK'|=4}\)
\(\displaystyle{ |K'P|=\frac{16}{3}}\)
\(\displaystyle{ P_{\Delta{PKL}}=4 \frac{16}{3}}\)
\(\displaystyle{ P_{\Delta{PKL}}=\frac{64}{3}}\)