współrzędne kwadratu i równanie okręgu

[kujdak]

Jednym z wierzchołków kwadratu jest punkt A(2, 2), a środkiem jednego z przeciwległych
boków jest punkt \(\displaystyle{ M(-0,5;-0,5 )}\). Wyznaczyć współrzędne pozostałych wierzchołków oraz równanie okręgu opisanego na tym kwadracie.

Proszę o pomoc pozdrawiam

[JankoS]

Jednym z wierzchołków kwadratu jest punkt A(2, 2), a środkiem jednego z przeciwległych
boków jest punkt \(\displaystyle{ M(-0,5;-0,5 )}\). Wyznaczyć współrzędne pozostałych wierzchołków oraz równanie okręgu opisanego na tym kwadracie.

Oznaczam pozostałe wierzchołki \(\displaystyle{ B(x _{b} ,y _{b} ),C(x _{c},y _{c}),D(x _{d},y _{d} )}\) i \(\displaystyle{ S(x _{s},y _{s})}\) - środek szukanego okręgu, r - długość jego promienia, a * iloczyn skalarny wektorów.

Z warunków zadania mam układ
\(\displaystyle{ | \vec{BM}|=\frac{1}{2}| \vec{AB}| \ i \ \vec{AB}* \vec{BM}=0.}\)
Z niego wyznaczam \(\displaystyle{ x _{b} \ i \ y _{b} .}\) Bedą dwa rozwiązania.
Dalej \(\displaystyle{ \vec{BC}=2 \vec{BM}}\) i stąd mam współrzędne woerzchołka C.
Współrzędne pozostałego wierzchłka mogę wyznaczyć z równości
\(\displaystyle{ \vec{DC}= \vec{AB} \ lub \ \z \ \vec{AD}= \vec{BC}.}\)
Współrzędne środka okręgu mogę wyznaczyć z równości \(\displaystyle{ \vec{AS}=\frac{1}{2} \vec{AC}, \ natomiast \ r=| \vec{AS}|,}\)
Jeszcze raz zaznaczam, że są dwa rozwiązania.

[kujdak]

to jeżeli mam tak:
\(\displaystyle{ |BM|=0,5|AB| 1,5x_{B}+1,5y_{B}}\)
oraz
\(\displaystyle{ |AB|\cdot |BM|=0 -x_{B}^{2}-x_{B}y_{B}-y_{B}x_{B}-y_{B}^{2}=0}\)

[JankoS]

to jeżeli mam tak:
\(\displaystyle{ |BM|=0,5|AB| 1,5x_{B}+1,5y_{B}}\)
oraz
\(\displaystyle{ | \vec{AB} |\cdot |BM|=0 -x_{B}^{2}-x_{B}y_{B}-y_{B}x_{B}-y_{B}^{2}=0}\)

\(\displaystyle{ | \vec{AB} |}\) oznacza długość wektora.
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[x _{b}-x _{a},y _{b} -y _{a}]=[x _{b}-2,y _{b} -2] |AB|= \sqrt{(x _{b}-2) ^{2}+(y _{b} -2) ^{2} }}\)
Podobnie
\(\displaystyle{ \vec{BM}= [-0,5-x _{b},-0,5-y _{b}] | \vec{BM}|= \sqrt{(-0,5-x _{b}) ^{2}+(-0,5-y _{b}) ^{2}} .}\)
Iloczyn skalarny
\(\displaystyle{ \vec{AB}* \vec{BM} = [x _{b}-2,y _{b} -2]*[-0,5-x _{b},-0,5-y _{b}]=(x _{b}-2)(-0,5-x _{b})+(y _{b} -2)(-0,5-y _{b}).}\)
\(\displaystyle{ x _{b},y _{b}}\) wyznaczam z układu
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{(x _{b}-2) ^{2}+(y _{b} -2) ^{2} } = \sqrt{(-0,5-x _{b}) ^{2}+(-0,5-y _{b}) ^{2}}
\\(x _{b}-2)(-0,5-x _{b})+(y _{b} -2)(-0,5-y _{b})=0.\end{cases}}\)