Znajdź kąt między wektorami \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\), wiedząc że wektor \(\displaystyle{ \vec{a} + 3 \vec{b}}\) jest prostopadły do wektora \(\displaystyle{ 7 \vec{a} -5 \vec{b}}\), a wektor \(\displaystyle{ \vec{a} - 4 \vec{b}}\) jest prostopadły do wektora \(\displaystyle{ 7\vec{a} -2 \vec{b}}\).
z góry dziękuję za pomoc =]
wektory
-
scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
wektory
Z pierwszej prostopadłości:
\(\displaystyle{ \vec{u}=\vec{a} + 3 \vec{b} \\
\vec{v}= 7 \vec{a} -5 \vec{b} \\
\vec{a} \vec{b} = |a||b| \cos \\
\vec{u} \vec{v} = 0 \\
0 = (\vec{a} + 3 \vec{b}) (7 \vec{a} -5 \vec{b}) = 7|a|^2+16|a||b| \cos - 15 |b|^2}\)
Podobnie z drugiej:
\(\displaystyle{ 0 = (\vec{a}-4\vec{b}) (7\vec{a}-2\vec{b}) = 7|a|^2-30|a||b| \cos +8|b|^2}\)
Stąd (pomijam trywialne rozwiązania):
\(\displaystyle{ 46|a||b| \cos = 23 |b|^2 \\
\cos = \frac{|b|}{2|a|}}\)
Wstawiając to do pierwszego równania otrzymujemy, że \(\displaystyle{ |a|=|b|}\), zatem \(\displaystyle{ \cos = \frac{1}{2}}\).
\(\displaystyle{ \vec{u}=\vec{a} + 3 \vec{b} \\
\vec{v}= 7 \vec{a} -5 \vec{b} \\
\vec{a} \vec{b} = |a||b| \cos \\
\vec{u} \vec{v} = 0 \\
0 = (\vec{a} + 3 \vec{b}) (7 \vec{a} -5 \vec{b}) = 7|a|^2+16|a||b| \cos - 15 |b|^2}\)
Podobnie z drugiej:
\(\displaystyle{ 0 = (\vec{a}-4\vec{b}) (7\vec{a}-2\vec{b}) = 7|a|^2-30|a||b| \cos +8|b|^2}\)
Stąd (pomijam trywialne rozwiązania):
\(\displaystyle{ 46|a||b| \cos = 23 |b|^2 \\
\cos = \frac{|b|}{2|a|}}\)
Wstawiając to do pierwszego równania otrzymujemy, że \(\displaystyle{ |a|=|b|}\), zatem \(\displaystyle{ \cos = \frac{1}{2}}\).