znajdź równanie prostej

[Kofeinka]

Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt A=(2,4) i przecinającej proste 3x+y=0 oraz x-y+4=0 w punktach M i N w taki sposób, że punkt A jest środkiem odcinka MN.

[lukasz1804]

Bez zmniejszenia ogólności rozważań możemy założyć, że punkt M leży na prostej 3x+y=0, a punkt N na prostej x-y+4=0. Wówczas mamy \(\displaystyle{ M=(x_M, -3x_M), N=(x_N, x_N+4)}\) dla pewnych \(\displaystyle{ x_M, x_N\in\mathbb{R}}\).
Stąd i ze wzoru na współrzędne środka odcinka mamy

\(\displaystyle{ \frac{x_M+x_N}{2}=2}\), \(\displaystyle{ \frac{-3x_M+x_N+4}{2}=4}\).

Zatem \(\displaystyle{ x_M+x_N=4, -3x_M+x_N=4}\), skąd łatwym rachunkiem dostajemy \(\displaystyle{ x_M=0, x_N=4}\). Stąd w myśl określenia punktów M i N mamy \(\displaystyle{ M(0,0), N(4,8)}\).
Jedyną prostą przechodzącą przez punkty M i N, a przy okazji również przez A, jest prosta o równaniu \(\displaystyle{ y=2x}\), czyli \(\displaystyle{ 2x-y=0}\). Jest ona rozwiązaniem zadania.

Pozdrawiam.