Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P(2,3,1)}\), równoległej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi: x-y+7z-1=0}\) i przecinającej prostą \(\displaystyle{ l_{1}:}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} x-2y-5z-7=0\\2x-y+1=0\end{cases}}\)
Dana prosta ma równanie parametryczne z parametrem \(\displaystyle{ l_{1}: =\begin{cases} x=t\\y=1+2t\\z=1-t \end{cases} t R}\)
Z tego wynika, że wektor tej prostej ma współrzędne \(\displaystyle{ \vec{v}=[1,2,-1]}\) oraz punkt \(\displaystyle{ P_{1}=(0,1,1)}\)
Szukana prosta ma postać \(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=x_{0}+at\\y=y_{0}+bt\\z=z_{0}+ct \end{cases} t R}\)
Za \(\displaystyle{ x_{0}, y_{0}, z_{0}}\) wstawimy odpowiednio punkt przez który przechodzi prosta \(\displaystyle{ (2,3,1)}\)
Jak utworzyć wektor \(\displaystyle{ \vec{n}=[a.b,c]}\), który będzie jednocześnie równoległy do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) i przebijał prostą \(\displaystyle{ l_{1}?}\)