równania prostych zawierających przekątne prostokąta

[Kofeinka]

W prostokącie ABCD dane są: wierzchołek C (-2,2) i wektor AB = [3,3]. Wyznacz równania prostych zawierających przekątne tego prostokąta, jeśli wiadomo, że wierzchołek A należy do prostej o równaniu x-2y=0.

[Symetralna]

\(\displaystyle{ D = ( k, t )}\) \(\displaystyle{ A = ( -2, 2 )}\)

\(\displaystyle{ \vec{AB} = [3,3]}\) \(\displaystyle{ \vec{DC} = [ -2-k, 2-t ]}\)

wektory AB i DC są równe więc maja takie same współrzędne:

\(\displaystyle{ -2-k=3 2-t=3}\) czyli

\(\displaystyle{ D= ( -5,-1)}\)

Ponieważ A leży na prostej \(\displaystyle{ 2y=x}\), to ma współrzędne typu: \(\displaystyle{ (2a,a)}\)


Wektory AD i AB są prostopadłe, więc ich iloczyn skalarny jest równy 0.

\(\displaystyle{ \vec{AD}=[ -5-2a, -1-a]}\) \(\displaystyle{ \vec{AB}=[3,3]}\)


\(\displaystyle{ ( -5-2a) * 3 + (-1-a) *3 = 0}\)

czyli \(\displaystyle{ a= -2}\) , a \(\displaystyle{ A= (-4,-2)}\)


Niech \(\displaystyle{ B = (e,f)}\) \(\displaystyle{ \vec{AB} = [ e+4, f+2]}\)


\(\displaystyle{ e+4=3 f+2=3}\)

Mamy więc współrzędne ostatniego wierzchołka : \(\displaystyle{ B=(-1, 1)}\)

Teraz wystarczy dwa razy skorzystać ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przed dwa punkty i zadanie skończone