odległości prostej od punktów

[damalu]

Znajdź równanie prostej k , przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A (5,2)}\) i takiej, że odległości tej prostej od punktów \(\displaystyle{ B=(-5,0)}\) i \(\displaystyle{ C =(13,-18)}\) są sobie równe.

Domyślam się, ze współczynnik kierunkowy postaci kierunkowej tej prostej musi być ujemny. Więcej pomysłów nie mam. Ktoś mógłby coś zasugerować?

[jeremi]

Skorzystaj z wzoru na odległość punktu od prostej. Podstaw punkty B, C i porównaj. Potem już standardowy układ równań i powinno wyjść.
Jeżeli sobie nie poradzisz to napisz.

[damalu]

ułozyłam układ równań \(\displaystyle{ d_{B,k} = d_{C,k}}\) z przekaształceń, po podstawieniu za x i y współrzędnych punktów wyszła mi równość \(\displaystyle{ | -5A+C| = |13 A-18B+c|}\) jako drugi układ równań wyznaczyłam równanie prostej k w postaci ogólnej z podstawionymi danymi punktu A \(\displaystyle{ 5A+2B+c=0}\). Próbowałam rozwiązać równość z wartościami bezwzględnymi. Wyszło mi, że w przypadku kiedy obie strony są dodatnie bądź ujemne zachodzi równość A=B, a jeśli lewa strona jest dodatnia a prawa ujemna to A=-11B . W przypadku odwrotnym wychodzi wynik sprzeczny z założeniem. Pomocy! Jak to zinterpretować?

[jeremi]

Zauważ, że równość sprowadza się do tej alternatywy równości:
\(\displaystyle{ -5a+b=13a+18+b \ \ \ \ 5a-b=13a+18+b \\
a=-1 \ \ \ \ a= \frac{-9+b}{4} \\}\)
Podstawiam a=-1 do równania prostej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2=5a+b \\ a=-1 \end{cases} \\
y=-x+7}\)
I to by chyba wystarczyło, aczkolwiek rozwiązania mogą być 2.

[damalu]

Mam pytanie... skąd się wzięła ta alternatywa? Bo nie z tego co mi wyszło

[jeremi]

Z tego, tylko przy troche innych oznaczeniach:
\(\displaystyle{ |-5a+b|=|13a+18+b|}\)
Potem mamy 2 przypadki:
1. gdy obie strony pod wartością bezwzględną mają ten sam znak
2. gdy znak jest przeciwny.

[damalu]

A współczynnik B w prawej stronie równania? przy liczbie 18?

[jeremi]

Wynosi -1?

Masz postać ogólną równania prostej:
ax-y+b = 0
A=a, B=-1, C=b

[południowalolka]

Moim zadaniem ta prosta k to poprostu prosta równoległa do prostej przechodzacej przez punkt B i C. Najłatwiej mozna obliczyć równanie prostej BC \(\displaystyle{ y=-x-5}\) a potem prostą równoległą do tej prostej. I wychodzi \(\displaystyle{ y=-x+7}\)