Trójkąt

[asiulka17a]

Napisz równanie prostej będącej dwusieczną kąta ABC w trójkącie ABC o współrzędnych A(0,1) B(1,-2) C(3,0).

Proszę o pomoc ..

[Szemek]

Mój pomysł na rozwiązanie tego zadania to skorzystanie z twierdzenia o dwusiecznych kąta w trójkącie.
\(\displaystyle{ \frac{|AD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|CB|}}\)
No to jedziemy
Wyznaczam równanie prostej AC
\(\displaystyle{ AC:y=-\frac{1}{3}x+1}\)
Teraz długości odcinków |AB| i |CB|
Długość odcinka liczymy ze wzoru:
\(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}}\)
\(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{10}}\)
\(\displaystyle{ |CB|=2\sqrt{2}}\)
Współrzędne punktu D oznaczmy \(\displaystyle{ D(x,-\frac{1}{3}x+1)}\) (bo leży na prostej AC)
Wyznaczam 'długości' odcinków |AD| i |DC|:
\(\displaystyle{ |AD|=\sqrt{(x-0)^2+(-\frac{1}{3}x+1-1)^2} = \sqrt{\frac{10}{9}x^2} = \frac{\sqrt{10}}{3}|x|}\)
\(\displaystyle{ |DC|=\sqrt{(3-x)^2+(0+\frac{1}{3}x-1)^2} = \sqrt{x^2-6x+9+\frac{1}{9}x^2-\frac{2}{3}x+1} = \sqrt{\frac{10}{9}x^2-\frac{20}{3}x+10}}\)
\(\displaystyle{ =\sqrt{\frac{10}{9} \cdot (x^2-6x+9)} = \frac{\sqrt{10}}{3} \sqrt{(x-3)^2}= \frac{\sqrt{10}}{3} |x-3|}\)

\(\displaystyle{ \frac{\frac{\sqrt{10}}{3}|x|}{\frac{\sqrt{10}}{3} |x-3|} = \frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{|x|}{|x-3|} = \frac{\sqrt{5}}{2}}\)
punkt D znajduje się między punktami A i C, więc rozpatruję tylko przedział (0,3)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \in (0,3) \\ \frac{x}{-x+3} = \frac{\sqrt{5}}{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 2x-\sqrt{5}(-x+3) = 0 \iff 2x+\sqrt{5}x = 3\sqrt{5} \iff x(\sqrt{5}+2) = 3\sqrt{5} \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff x = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}+2} \iff x = \frac{3\sqrt{5}(\sqrt{5}-2)}{3} \iff x=15-6\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ 15-6\sqrt{5} \approx 1,58 \in (0,3)}\)
Punkt D ma współrzędne \(\displaystyle{ (15-6\sqrt{5};2\sqrt{5}-4)}\)
\(\displaystyle{ B(1,-2)}\)
Równanie prostej BD, czyli szukanej dwusiecznej kąta ABC:
\(\displaystyle{ BD: (y_D-y_B)(x-x_B)-(x_D-x_B)(y-y_B) = 0}\)
\(\displaystyle{ BD: (2\sqrt{5}-4+2)(x-1)-(15-6\sqrt{5}-1)(y+2)=0}\)
\(\displaystyle{ BD: (2\sqrt{5}-2)(x-1)-(14-6\sqrt{5})(y+2)=0}\)
\(\displaystyle{ BD: (2\sqrt{5}-2)x-(2\sqrt{5}-2)-(14-6\sqrt{5})y-(14-6\sqrt{5})=0}\)
\(\displaystyle{ BD: (2\sqrt{5}-2)x-(2\sqrt{5}-2)-(14-6\sqrt{5})y-28+12\sqrt{5})=0}\)
\(\displaystyle{ BD: (2\sqrt{5}-2)x-(14-6\sqrt{5})y-26+10\sqrt{5}=0}\)
\(\displaystyle{ BD: (2\sqrt{5}-2)x+(6\sqrt{5}-14)y-26+10\sqrt{5}=0}\) równanie ogólne prostej

może spróbuję jeszcze rozwiązać innym sposobem

[ Dodano: 15 Stycznia 2008, 23:43 ]
inny sposób - rozwiązanie przybliżone:
\(\displaystyle{ AB: y=-3x+1}\)
\(\displaystyle{ \tan \alpha = -3}\)
\(\displaystyle{ \alpha_{AB} \approx 108^\circ 26'}\)
\(\displaystyle{ BC: y=x-3}\)
\(\displaystyle{ \tan \alpha =1}\)
\(\displaystyle{ \alpha_{BC} = 45^\circ}\)

\(\displaystyle{ BD: y=ax+b}\)
\(\displaystyle{ \alpha_{BD}=\frac{108^\circ 26' + 45^\circ}{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha_{BD}=76^\circ 43'}\)
\(\displaystyle{ \tan 58^\circ 16' \approx 4,23}\)
\(\displaystyle{ BD: y=4,23x+b}\)
\(\displaystyle{ B \in BD}\)
\(\displaystyle{ -2=4,23+b}\)
\(\displaystyle{ b=-6,23}\)
\(\displaystyle{ BD: y=4,23x-6,23}\)